そのシリーズの初期のころ，空間充填２^n＋２ｎ面体のスターリング近似の計算において，

　　ｒ^2n＝１／（ｎ−ｊ）

としてしまったが，幾何学的な意味を考えると，

　　ｒ^2n＝１／ｊ

とするのが正当であったかもしれない．（その３９）をやり直してみたい．

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【１】超立方体の球体近似

　球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

とｎ次元立方体［−１，１］^nの体積

　　２^n

を等しいとおいて半径を求めるが，ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにする．

　　２^n＝２^2k

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n＝π^k/ｋ！・ｒ^2k

したがって，

　　ｒ^2k≒ｋ！・（４／π）^k

　　ｒ^2≒（ｋ！）^1/k・（４／π）＝（（ｎ／２）！）^2/n・（４／π）

となるような球がbest fitすることになる．

　ｊ次元面の中点までの距離は

　　ｒj^2＝ｎ−ｊ

　そこで，best fitする球（ｒ^2＝ｎ−ｊ）を考えると，ｎ→∞のとき，ｊ／ｎあるいは（ｎ−ｊ）／ｎ＝１−ｊ／ｎの収束を調べるという問題になる．

　　（（ｎ／２）！）^-2/nπ／４＝１／（ｎ−ｊ）

　　（（ｎ／２）！）^-2（π／４）^n＝（ｎ−ｊ）^-n

　　（π／４）^n＝（ｎ−ｊ）^-n｛（ｎ／２）！｝^2

　スターリングの公式を使って

　　（ｎ／２）！→√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）

とするのは正しくない．相対誤差は０に近づくが絶対誤差は無限大に発散するからである．そこで，

　　（π／４）^n＝（ｎ−ｊ）^-n｛（ｎ／２）！｝^2

の両辺を

　　｛√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）｝^2＝πｎ（ｎ／２）^nｅｘｐ（−ｎ）

で割ってから，極限をとってみよう．

　すると

　　左辺＝（πｅ／２ｎ）^n／πｎ

　　右辺＝（ｎ−ｊ）^-n

となるから，さらに両辺にｎ^nをかけてから極限をとると

　　左辺＝（πｅ／２）^n／πｎ

　　右辺＝ｅｘｐ（ｊ）

　　ｊ→ｎｌｏｇ（πｅ／２）−ｌｏｇ（πｎ）→ｎｌｏｇ（πｅ／２）

　　（ｎ−ｊ）／ｎ→１−ｌｏｇ（πｅ／２）

となり収束する．

　　ｊ〜ｎｌｏｇ（πｅ／２）

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【２】正軸体の球体近似

　正軸体は４次元を除き空間充填多面体にならないが，球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

と１辺の長さ√２のｎ次元正軸体の体積

　　２^n／ｎ！

を等しいとおいて半径を求めてみる．

　偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　２^n／ｎ！＝２^2k／（２ｋ）！

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n＝π^k/ｋ！・ｒ^2k

したがって，

　　ｒ^2k≒（ｋ！／（２ｋ）！）・（４／π）^k

　　ｒ^2≒（ｋ！／（２ｋ）！）^1/k・（４／π）＝（（ｎ／２）！／ｎ！）^2/n・（４／π）

となるような球がbest fitすることになる．

　１辺の長さ√２の正軸体の内接球と外接球の半径は，それぞれ

　　√１／ｎ，√１／１

ｊ次元面の中点までの距離は

　　ｒj^2＝１／（ｊ＋１）

　そこで，best fitする球（ｒ^2＝１／（ｊ＋１））を考えると，ｎ→∞のとき，ｊ／ｎあるいは（ｎ−ｊ）／ｎ＝１−ｊ／ｎの収束を調べるという問題になる．

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^-2/nπ／４＝（ｊ＋１）

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^-2（π／４）^n＝（ｊ＋１）^n

　　（π／４）^n＝（ｊ＋１）^n｛（ｎ／２）！／ｎ！｝^2

　ここで，

　　（π／４）^n＝（ｊ＋１）^n｛（ｎ／２）！／ｎ！｝^2

の両辺を

　　｛√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）｝^2＝πｎ（ｎ／２）^nｅｘｐ（−ｎ）

で割って

　　｛√（２πｎ）（ｎ）^nｅｘｐ（−ｎ）｝^2＝２πｎ（ｎ）^2nｅｘｐ（−２ｎ）

を掛けてから，すなわち，

　　２（２ｎ／ｅ）^n

を掛けてから，極限をとってみよう．

　すると

　　左辺＝２（πｎ／２ｅ）^n

　　右辺＝（ｊ＋１）^n

となるから，

　　ｊ＋１〜πｎ／２ｅ

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【２】正単体の球体近似

　球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

と辺の長さ√２のｎ次元正単体の体積

　　（ｎ＋１）^1/2／ｎ！

を等しいとおいて半径を求めてみる．

　偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　（ｎ＋１）^1/2／ｎ！＝（２ｋ＋１）^1/2／（２ｋ）！

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n＝π^k/ｋ！・ｒ^2k

したがって，

　　ｒ^2k≒（ｋ！／（２ｋ）！）・（２ｋ＋１）^1/2／π^k

　　ｒ^2≒（ｋ！／（２ｋ）！）^1/k・（２ｋ＋１）^1/2k／π＝（（ｎ／２）！／ｎ！）^2/n・（ｎ＋１）^1/n／π

となるような球がbest fitすることになる．

　辺の長さ√２の正単体のｊ次元面までの距離ｒjは

　　｛（ｊ＋１）（１／（ｊ＋１）−１／（ｎ＋１））^2＋（ｎ−ｊ）（１／（ｎ＋１））^2｝^1/2

＝｛（ｎ−ｊ）／（ｊ＋１）（ｎ＋１）｝^1/2

　　ｒj^2＝｛（ｎ−ｊ）／（ｊ＋１）（ｎ＋１）｝

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^2/n・（ｎ＋１）^1/n／π＝｛（ｎ−ｊ）／（ｊ＋１）（ｎ＋１）｝

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^2・（ｎ＋１）／（π）^n＝｛（ｎ−ｊ）／（ｊ＋１）（ｎ＋１）｝^n

　ここで，両辺を

　　｛√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）｝^2＝πｎ（ｎ／２）^nｅｘｐ（−ｎ）

で割って

　　｛√（２πｎ）（ｎ）^nｅｘｐ（−ｎ）｝^2＝２πｎ（ｎ）^2nｅｘｐ（−２ｎ）

を掛けてから，すなわち，

　　２（２ｅ／ｎ）^n

を掛ける．すると

　　左辺＝（ｎ＋１）／π^n

　　右辺＝２（２ｅ／ｎ）^n｛（ｎ−ｊ）／（ｊ＋１）（ｎ＋１）｝^n

となるから，

　　（ｎ−ｊ）／（ｊ＋１）（ｎ＋１）〜ｎπ／２ｅ｛（ｎ＋１）／２｝^1/n

　　（ｎ−ｊ）＝（ｊ＋１）ｎ^2π／２ｅ

　　（ｎ^2π／２ｅ＋１）ｊ＝（ｎ^2π／２ｅ−１）

となって，ｊ＝１に収束する．

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［雑感］計算力が鈍っていること，時間を細切れにしか使えないことから，ある程度しかたないにせよ，あまりにも間違い多し．まだ間違いはあると思われるが，少しはましになったようである．

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