平行体の体積計算では，２つの方法
［１］漸化式
［２］行列式（グラミアン）
が考えられる．置換多面体とその正軸体版の２種類の多面体について，２つの方法で計算したところ，どちらの多面体でも４次元まで［１］［２］は一致したものの５次元以上で乖離してしまったことがあった．
このシリーズでも不可解な現象が起こっている．（その４３）以降の再考から始めたい．
１－ｙ1＝２／ｎ（ｎ＋１）
より，規格化前（正単体の辺の長さ１）の置換多面体の体積は
Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2}／２^n/2・｛２／ｎ（ｎ＋１）｝^n
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】中心から各面までの距離
Ｐn（ａ1，・・・，ａn）
ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））
と切頂切稜面の距離を求める．
切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点
Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）
を通る．
ＰnＰ0＝（－ａ1，－ａ2，・・・，－ａn）
ＰnＰ1＝（０，－ａ2，－ａ3，・・・，－ａn）
ＰnＰn-1＝（０，・・・，０，－ａn）
ファセットを定めている不等式は，
ａ・ｘ＝ｃ
で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は
｜ａ・ｘ0－ｃ｜／∥ａ∥
とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／∥ａ∥となる．
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので
ａ＝（－ａ1，－ａ2，・・・，－ａn）
ｑ＝（ｘ1－ａ1，ｘ2－ａ2，ｘ3－ａ3，・・・，ｘn－ａn）
とすると，この超平面をａ・（ｘ－ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝－（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ0＝－（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ0＝｜ｃ0｜／∥ａ∥，∥ａ∥＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ここで，
ａ1^2＋・・・＋ａn^2
＝１／２（１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１））
＝１／２（１／１－１／２＋１／２－１／３＋・・・＋１／ｎ－１／（ｎ＋１））
＝１／２（１／１－１／（ｎ＋１））
＝１／２・ｎ／（ｎ＋１）
ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn
＝１／２（１／１・２－１／ｎ（ｎ＋１））＋・・・＋１／２（１／ｎ・（ｎ＋１）－１／ｎ（ｎ＋１））
＝１／２（１／１・２＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１）－ｎ／ｎ（ｎ＋１））
＝１／２（１／１－１／（ｎ＋１）－ｎ／ｎ（ｎ＋１））
ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，－ａ2，・・・，－ａn）
ｃ1＝－（ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ1＝－（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ1＝｜ｃ1｜／∥ａ∥，∥ａ∥＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ここで，
ａ2^2＋・・・＋ａn^2
＝１／２（１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１））
＝１／２（１／２－１／３＋・・・＋１／ｎ－１／（ｎ＋１））
＝１／２（１／２－１／（ｎ＋１））
＝１／２・（ｎ－１）／２（ｎ＋１）
ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn
＝１／２（１／２・３－１／ｎ（ｎ＋１））＋・・・＋１／２（１／ｎ・（ｎ＋１）－１／ｎ（ｎ＋１））
＝１／２（１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１）－ｎ／ｎ（ｎ＋１））
＝１／２（１／２－１／（ｎ＋１）－（ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１））
ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，・・・，０，－ａn）
ｃn-1＝－ａnｘn＋ａn^2＝－ａn^2ｙn＋ａn^2
ｈn-1＝｜ｃn-1｜／∥ａ∥，∥ａ∥＝（ａn^2）^1/2
∥ａk∥^2＝１／２（ｋ＋１）（ｋ＋２）＋・・・＋１／２ｎ（ｎ＋１）＝１／２（１／（ｋ＋１）－１／（ｎ＋１））＝（ｎ－ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）
ここで，
ａn^2＝１／２（１／ｎ・（ｎ＋１））
＝１／２（１／ｎ－１／（ｎ＋１））
＝１／２（１／ｎ－１／（ｎ＋１））
＝１／２・１／ｎ（ｎ＋１）
ａn^2ｙn
＝１／２（１／ｎ・（ｎ＋１）－１／ｎ（ｎ＋１））＝０
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
１－ｙ1＝（１・２）／ｎ（ｎ＋１）
１－ｙ2＝２（１＋２）／ｎ（ｎ＋１）＝（２・３）／ｎ（ｎ＋１）
１－ｙ3＝２（１＋２＋３）／ｎ（ｎ＋１）＝（３・４）／ｎ（ｎ＋１）
１－ｙn＝２（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）／ｎ（ｎ＋１）＝ｎ（ｎ＋１）／ｎ（ｎ＋１）＝１
ａ1^2（１－ｙ1）＝１／２（１・２）・（１・２）／ｎ（ｎ＋１）＝１／２ｎ（ｎ＋１）
ａ2^2（１－ｙ2）＝１／２（２・３）・（２・３）／ｎ（ｎ＋１）＝１／２ｎ（ｎ＋１）
ａ3^2（１－ｙ3）＝１／２（３・４）・（３・４）／ｎ（ｎ＋１）＝１／２ｎ（ｎ＋１）
ａn^2（１－ｙn）＝１／２（ｎ・ｎ＋１）・（ｎ・ｎ＋１）／ｎ（ｎ＋１）＝１／２ｎ（ｎ＋１）
を用いた方が計算がやさしい．
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので
ａ＝（－ａ1，－ａ2，・・・，－ａn）
ｑ＝（ｘ1－ａ1，ｘ2－ａ2，ｘ3－ａ3，・・・，ｘn－ａn）
とすると，この超平面をａ・（ｘ－ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝－（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ0＝－（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ0＝｜ｃ0｜／∥ａ∥，∥ａ∥＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ここで，
ａ1^2＋・・・＋ａn^2＝１／２（１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１））
＝１／２（１／１－１／２＋１／２－１／３＋・・・＋１／ｎ－１／（ｎ＋１））
＝１／２（１／１－１／（ｎ＋１））
＝１／２・ｎ／（ｎ＋１）
ａ1^2（１－ｙ1）＋・・・＋ａn^2（１－ｙn）
＝ｎ／２ｎ（ｎ＋１）
ｈ0＝（１／２（ｎ＋１））^1/2
ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，－ａ2，・・・，－ａn）
ｃ1＝－（ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ1＝－（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ1＝｜ｃ1｜／∥ａ∥，∥ａ∥＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ここで，
ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１／２（１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１））
＝１／２（１／２－１／３＋・・・＋１／ｎ－１／（ｎ＋１））
＝１／２（１／２－１／（ｎ＋１））
＝１／２・（ｎ－１）／２（ｎ＋１）
ａ2^2（１－ｙ2）＋・・・＋ａn^2（１－ｙn）
＝（ｎ－１）／２ｎ（ｎ＋１）
ｈ1＝（（ｎ－１）／（ｎ＋１））^1/2／ｎ
ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，・・・，０，－ａn）
ｃn-1＝－ａnｘn＋ａn^2＝－ａn^2ｙn＋ａn^2
ｈn-1＝｜ｃn-1｜／∥ａ∥，∥ａ∥＝（ａn^2）^1/2
∥ａk∥^2＝１／２（ｋ＋１）（ｋ＋２）＋・・・＋１／２ｎ（ｎ＋１）＝１／２（１／（ｋ＋１）－１／（ｎ＋１））＝（ｎ－ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）
ここで，
ａn^2＝１／２（１／ｎ・（ｎ＋１））
＝１／２（１／ｎ－１／（ｎ＋１））
＝１／２（１／ｎ－１／（ｎ＋１））
＝１／２・１／ｎ（ｎ＋１）
ａn^2（１－ｙn）＝１／２ｎ（ｎ＋１）
ｈn-1＝（１／２ｎ（ｎ＋１））^1/2
一般に，
∥ａj∥^2＝（ｎ－ｊ）／２（ｊ＋１）（ｎ＋１）
ｃj＝（ｎ－ｊ）／２ｎ（ｎ＋１）
ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ－ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2→ＯＫ
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝