周期的とは平行対称性をもつもの，準周期的とは平行対称性がないもののうち，鏡映対称性あるいは回転対称性をもつもの，非周期的とは鏡映対称性も回転対称性ももたないものを指す用語です．
１９９３年に１種類の凸多面体の非周期的な仕方だけで空間全体を完全に埋めつくすことができる立体「二重プリズム」が英国の数学者コンウェイによって発見されました．
［参］デブリン「数学：パターンの科学」日経サイエンス社
の解説によりますと，この立体は４枚の合同な三角形と４枚の合同な平行四辺形からなっていて，２個の傾斜した三角プリズムをねじって接合したものとみなせるため「二重プリズム」と呼ばれています．
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【１】二重プリズムの木工製作
私がもっている二重プリズムに関する情報はこれだけしかないのですが，中川宏さんがこの乏しい情報をもとに考察を重ね，接合面が菱形となる三角プリズムを製作して下さりました．以下に，中川宏さん製作の木工模型を掲げます．
この多面体を用いて空間充填するには層ごとに組み立てます．各層は周期性をもっているのですが，第１層の上に第２層を乗せるときに常に一定の角度（２πの無理数倍）だけ回転させると垂直方向の非周期性が出現することになります．
すなわち，周期的となるための条件は菱形の頂角（ｔａｎθ）が有理数であることであること＝非周期性をもつためには菱形の頂角は２πの無理数倍である必要があります．逆にいうと，菱形の頂角が２πの無理数倍であるとき，コンウェイの二重プリズムを周期的に積み上げることはできないということになります．このことより周期性空間分割は無数に考えられますが，非周期空間分割は周期性空間分割より圧倒的に多数を占めることになります．
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【２】双側３角柱
コンウェイの二重プリズムは４枚の合同な三角形と４枚の合同な平行四辺形からなっていますが，空間充填可能という性質を保持しながら引き伸ばしたりひねったりする変形を考えることができます．
うまく伸縮させると４枚の正三角形面と４枚の正方形面からなる「双側３角柱」と呼ばれる立体ができあがります．接合面の頂角はπ／２（２πの有理数倍）ですから，双側３角柱は周期的にも非周期的にも積み上げることができます．
双側３角柱は１×１×√３の直方体のブロックを二面角
正三角形面・正方形面間 １５０°
正方形面・正方形面間 ６０°
で切稜することによって作ることができます．
双側３角柱は面は正則ですからすべての辺の長さは等しくなりますが，頂点は等価（すべての頂点の周りが一定）ではないので準正多面体には含まれません．この多面体は正多角面体（ザルガラー多面体）の１種です．
ついでにいうと，ザルガラー多面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体（プラトン体），準正多面体（アルキメデス体），角柱，反角柱を除くと９２種類存在します．デルタ多面体やミラーの多面体もザルガラー多面体に含まれるのですが，ザルガラー多面体はジョンソン多面体という別名でも呼ばれているようです．→［６−４］参照
［参］関口次郎「多面体の数理とグラフィックス」牧野書店
によると，双側３角柱はＮ２６に分類されています．
また，「ポリドロン」には辺の長さの等しい正３角形，正４角形，正５角形，正６角形のユニットがあります．９２種類あるザルガラー多面体の面は正３角形，正４角形，正５角形，正６角形，正８角形，正１０角形のいずれかなので，ポリドロンで多くのザルガラー多面体を構成することができます．
ポリドロンによる双側３角柱の模型を掲げますが，その構成では
佐藤耕太郎（小学５年生），佐藤一麦（小学３年生），佐藤千種（２才）
の協力を得ました．「ポリドロン」は東京書籍がその取り扱い店となっています．→連絡先：tel:03-5390-7513,fax:03-5390-7409（大山茂樹）
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【３】黄金菱形多面体による非周期的空間充填
３次元空間の非周期的充填では５種類の黄金平行多面体によるものが知られています．
ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，対角線の比が白銀比になっている菱形を１２個組み合わせてできる菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．
黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．
これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．
したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．
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【４】非周期的な平面充填
平行移動の周期がない非周期的平面充填についても多くの研究がなされています．最初に発見された非周期的タイルの集合は２０４２６個の原型から構成されているものでした（１９６６年）．
その後，より少ない原型からなるものが発見され，現在のところ，１９７４年にイギリスの数理物理学者ペンローズの発見した２種類の菱形を組み合わせて平面を非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです．ペンローズタイルと呼ばれるこの敷きつめかたは，正五角形のような５重の対称性がありますが，隙間を生じません．
２種類の黄金平行多面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができることは前述したとおりですが，この黄金平行多面体による充填図形の平面への投影はペンローズ・パターンと呼ばれる準周期性平面充填となります．すなわち，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．
一般にｎ次元平行多胞体は１種類（あるいは何種類か）でｎ次元空間を周期的に充填するのですが，それを３次元空間内や２次元平面上に平行投影して適当に隠線処理すると平行多面体や平行多角形による非周期的な充填図形が得られることになります．その際，正１０角形を構成する２種類の菱形で構成される準周期性平面充填をペンローズ・パターンというのですが，それに対して，正８角形を構成する２種類の菱形（正方形を含む）で構成される準周期性平面充填はアンマン・パターンと呼ばれるタイル貼りになっています．
平面全体を一種類だけで非周期的に埋めつくすことのできる図形はまだ知られていません．したがって，非周期的なタイル張りに関しては３次元の場合（コンウェイの二重プリズム）のほうが２次元の場合（ペンローズ・タイル）を超えているといえるのです．
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【５】正多面体の拡張
５種類の正多面体を惑星に例えていうならば，小惑星か彗星の一群にあたる多面体があります．
［１］アルキメデス立体とその双対多面体
純正多面体はケプラーが発見した１３種類あります．準正多面体の定義は人によっていろいろなのですが，アルキメデスの立体に，アルキメデスの正角柱（Archimedean prism：上下の底面が正多角形で，側面がすべて正方形であるもの），アルキメデスの反角柱（Archimedean antiprism：アルキメデスの正角柱を少しひねって，側面をすべて正三角形にしたもの）を加えることもあります．しかし，各々無限個存在しますから，アルキメデスの立体からは通常除外されます．
元の立体の頂点の数と面の数を互いに入れ替えた立体を双対多面体といいます．正多面体の双対は正多面体ですが，アルキメデスの立体の双対はアルキメデス双対で，準正多面体とは異なる一群の立体となります．たとえば，菱形十二面体は，立方八面体の各面の中心をつないで余分なところを切り落とすと現れる双対多面体です．また，正角柱の双対は重角錐（dipyramid），反角柱の双対はねじれ重角錐（trapezo-hedron）となります．
［２］星形正多面体
５種類の正多面体のうちで，正１２面体と正２０面体にのみ星形正多面体にあたるものを構成することができます．そして，ケプラー（星形小１２面体，星形大１２面体）と約２００年後のポアンソ（大１２面体，大２０面体）によって正多面体の星形化が４種類発見されています．またコーシーはそれらの４種類しかないことを証明しています．
オイラーの多面体定理より，凸多面体に対しては示性数：ｇ＝１−（ｆ−ｅ＋ｖ）／２は０となります．ところが，４種類の星形正多面体のうち，２種類はｇ＝０ですが，残りの２種類はｇ＝４になります．ｇ＝４はトポロジカルにいえば穴が４つあるドーナツと同一ですから，ｇ＝０のみを星形正多面体と呼ぶべきだとの主張もあります．
コーシーは星形正多面体を定める証明に変換群を用いています（１８１１年）．
３次元空間の回転群の有限部分群は，コーシーが示したように
(1)巡回群Ｃn
(2)正二面体群Ｄ2n
(3)正多面体群，すなわち
a)正四面体群（４次交代群：Ａ4）
b)正八面体群（４次対称群：Ｓ4）
c)正二十面体群（５次交代群：Ａ5）
に限られます．すなわち，３種類の回転対称性：
正４面体群＝Ａ4（４個の要素からなる偶置換全体＝交代群）
立方体（正８面体）群＝Ｓ4（４個の要素からなる置換全体）
正１２面体（正２０面体）群＝Ａ5（５個の要素からなる偶置換全体）
の他に，正ｎ角錐のもつ巡回群Ｃnと正ｎ角柱のもつ二面体群Ｄnがあります．
星形正多面体はｎ＝３のとき４種あり，３次元の９種の正多面体（凸型５種＋星形４種）を，
(1)三角四角型（Ｓ4，Ａ4）：３種
(2)五角型（Ａ5）：６種
と分類することもできるでしょう．
なお，星形正多面体はｎ＝４のとき１０種ありますが，ｎ≧５では存在しません．星形正多胞体は４次元で多彩となり，そこで突然終わりになる・・・５次元以上では３種類の標準正多胞体がすべてということになります．したがって，分類を高次元で行うと，
３次元空間 ４次元空間 ｎ次元空間（ｎ≧５）
三角四角型 ３種 ４種 ３種
五角型 ６種 １２種 ０種
［３］一様多面体
準正多面体の拡張（星形化）として，一様多面体という概念があります．面が正則（正多角形・星形正多角形），頂点が等価（すべての頂点の周りが一定）である多面体ですが，凸という条件を除くと多くの図形を得ることができます．１９５４年，コクセターらはプラトン立体５種類，アルキメデス立体１３種類，ケプラー・ポアンソの星形多面体４種類，それ以外の５３種類を併せて７５種類あると発表しました．２０年あまり後に，スキリングがコンピュータを使うことによってその証明を与えました．
［４］ザルガラー多面体（正多角面体）
また，一様多面体とは別の方向の拡張になるのですが，１９６６年，ロシアの数学者ザルガラーは正多角面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在することを証明しました．これもコンピュータの手を借りることで解決されました．アメリカのジョンソンも独立にこの分類を完成させています．
９２種類もあるザルガラー多面体を整理するには，分解可能性という考え方を取り入れると便利です．たとえば，正多面体のうちで分解不可能なものは正４面体，正６面体，正１２面体の３種類です．正８面体は２つの正４面体の合成であり，正２０面体は２つの正５角錐と正５角反柱の合成です．
［５］デルタ多面体（正三角面体）
すべての面が正三角形で構成されている立体を正三角面体といいます．正４面体，正８面体，正２０面体も含めて，全部で８種類あります．面数の少ない順に並べると，４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０面体で，奇妙なことにデルタ１８面体は存在しません．これらは，１９４２年にフロイデンタールによって決定されました．
［６］菱形多面体
ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．
なお，菱形平行６面体（菱面体）には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，各面の菱形の対角線の長さの比が黄金比１：１．６１８［＝（√５＋１）／２］の黄金六面体です．細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体，５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．
２種類の菱面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができるのですが，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．
［７］平行多面体
平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，３次元格子から決まる本質的なボロノイ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体（平行６面体を含む），６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかありません．
６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられます．
［８］複合正多面体
同じ正多面体を中心が重なるように合わせたもので，正４面体を２つ，屋根瓦状にあわせたケプラーの「星形８面体」は最も簡単なものです．このとき，頂点は立方体の頂点をなします．残りの４つは，以下のものになります．
正４面体を５つあわせたもの（頂点は正１２面体）
正４面体を１０個あわせたもの（頂点は正１２面体）
立方体を５つあわせたもの（頂点は正１２面体）
正８面体を５つあわせたもの（頂点は正２０面体）
同じ大きさの正４面体２個による相貫体＜ケプラーの８角星＞はダビデの星の３次元版ですが，星形正多面体には加えません．
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