母関数は強力な発見手段であり，整数や数列の性質を調べるのにベキ級数の問題に翻訳することによって答えを見つけることができるよい例となっている．

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［３］指数型母関数

　　ａ0 ／０！＋ａ1 ／１！ｘ＋ａ2 ／２！ｘ^2 ＋・・・

を数列｛ａn ｝に対する指数型母関数と呼びます．ｅｘｐ（ｘ）は数列｛１，１，１，・・・｝の指数型母関数です．また，二項展開より，

（１＋ｘ）^n ＝ΣnＣk ｘ^k

ですから，（１＋ｘ）^n は数列｛nＣ0 ，nＣ1 ，nＣ2，・・・｝の通常型母関数ですが，さらに，nＣk ＝nＰk ／ｋ！より，

（１＋ｘ）^n ＝ΣnＰk ／ｋ！ ｘ^k

すなわち，（１＋ｘ）^n は数列｛nＰ0 ，nＰ1 ，nＰ2，・・・｝の指数型母関数でもあります．

［４］指数型母関数の例−−−ベルヌーイ数列

　有名なベルヌーイ数Ｂn はベキ和Σｋ^sやゼータ関数の計算などのほかにも，数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数ですが，ベルヌーイ数列｛Ｂn ｝の指数型母関数はｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は

ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）

＝１＋Ｂ1 ／１！ｘ＋Ｂ2 ／２！ｘ^2 ＋Ｂ3 ／３！ｘ＾3 ＋・・・＝ΣＢn ｘ^n ／ｎ！

で定義される有理数です．

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　ここでは，母関数として

　　ｅｘｐ（ｘ＋ｘ^2／２）

を考えてみる．

　通常の母関数は

　　ｅｘｐ（ｘ＋ｘ^2／２）＝１＋（ｘ＋ｘ^2／２）＋（ｘ＋ｘ^2／２）^2／２＋（ｘ＋ｘ^2／２）^3／６＋・・・

＝１＋ｘ＋ｘ^2／２＋（ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4／４）／２＋（ｘ^3＋３ｘ^4／２＋３ｘ^5／４＋ｘ^6／８）／６

＝１＋ｘ＋２ｘ^2／２＋４ｘ^3／６＋１０ｘ^4／２４・・・

　　｛１，１，１，４／６，１０／２４，・・・｝

であるが，指数関数的母関数を考えるのである．すると，数列

　　｛１，１，２，４，１０，・・・｝

が見えてくる．

　　ｅｘｐ（ｘ＋ｘ^2／２）＝ｅｘｐ（ｘ）・ｅｘｐ（ｘ^2／２）＝

＝（１＋ｘ＋ｘ^2／２＋ｘ^3／６＋ｘ^4／２４＋・・・）（１＋ｘ^2／２＋ｘ^4／８＋ｘ^6／４８＋ｘ^4／３８４＋・・・）

として計算した方が速いかもしれない．

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