立方体（ｆ＝６），菱形十二面体（ｆ＝１２），切頂八面体（ｆ＝１４）はよく知られた空間充填立体です．シリーズ「α−１４面体・β−１４面体の木工製作」では，切頂八面体（ｆ＝１４）を空間充填可能という性質を保持しながら，相対する正方形面に直交する方向にやや引き伸ばしてα−１４面体（ケルビンの１４面体）にした後，一部を９０°回転させて（位相幾何学的変形）β-１４面体（ウィリアムズの１４面体）を作りました．
切頂八面体（ｆ＝１４）としばしば対比されるのが，菱形十二面体（ｆ＝１２）です．どちらも単独で空間充填可能な立体図形なのですが，切頂八面体は準正多面体ですから外接球・中接球をもつのに対して，菱形十二面体は準正多面体ではないので外接球・中接球はもちません（内接球をもっています）．
また，切頂八面体が体心立方格子のボロノイ図であるのに対して，菱形十二面体は面心立方格子のボロノイ図となっています．そのため，菱形十二面体（ｆ＝１２）に対しても切頂八面体と同様に，空間充填可能という性質を保持しながら引き伸ばしたりひねったりする変形を考えることができます．それらを仮にα−１２面体・β−１２面体と呼ぶことにしますが，今回のコラムではこの変形について，中川宏さん製作の木工模型とともに紹介したいと思います．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】菱形十二面体（４次元の雪）
菱形十二面体は対角線の長さの比が１：√２の合同な菱形を１２枚張り合わせたものです．菱形十二面体（頂点は１４個）では，６個の頂点に４つの面が集まり，残りの８個の頂点に３つの面が集まっています．
４つの面が集まる頂点（ａ4）の方向からみるとその投影図は正面，平面，側面がすべて正方形になっているという奇妙な投影図形を示します．一方，３つの面が集まる頂点（ｏ3）の方向からみるとその投影図は正六角形を示します．
菱形十二面体は面心立方格子のボロノイ図であり，実際，ざくろ石の結晶としても自然界に産出します．また，ケプラーは雪の結晶が正六角形をしているのはなぜかと考え，史上初めて菱形十二面体をみつけました．
六花という異名をもつ雪は正六角形をしていますが，辺と辺のなす角度（内角）はすべて１２０°です．３次元多面体では内角に相当するのが面と面のなす角度（二面角）なのですが，菱形十二面体の二面角はすべて１２０°となります．ケプラーが思考実験したとおり４次元の雪（超正六角形）は菱形十二面体なのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】長菱形十二面体
平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，３次元格子から決まる本質的なボロノイ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体−−しかありません．
６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられます．
菱形１２面体の鈍な頂点ｏ3を両極として赤道面で半分に切って間に正六角柱を挟んだものは自然界ではハチの巣（ハニカム）にみられる空間分割ですが，長菱形１２面体の場合は菱形１２面体を尖った頂点ａ4を両極として赤道面で半分に切って間に正四角柱を挟んだものです．
以前，私は長菱形１２面体を正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体と勘違いしていたのですが，六角形面は正六角形にはなりえません．もとの菱形十二面体の菱形面の１辺の長さを１，鋭角の内角をθとおくと，
θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／√２）＝７０．５２８８°
菱形の短いほうの対角線は
２ｓｉｎ（θ／２）＝１．１５４７
長いほうの対角線は
２ｃｏｓ（θ／２）＝１．６３２９９
赤道面の間に挟む四角柱の高さは菱形面の１辺の長さと等しいものを考えますが，この等辺六角形の内角は
１８０−θ＝１０９．４７２２°
９０＋θ／２＝１２５．２６４４゜
となって等角ではないからです．しかし，両者の差はわずかでちょっと見た目には正六角形と勘違いされても仕方ないかもしれません．
なお，胴部分に立方体を挟み込んだ場合，立方体の１辺の長さは菱形の長いほうの対角線と等しくなりますから，立方体の１辺の長さは
２ｃｏｓ（θ／２）＝１．６３２９９
と計算されます．これであれば菱形面の１辺の長さと大きく異なりますから正六角形に勘違いされることはないでしょう．
長菱形十二面体の諸計量値を調べてみますが，菱形十二面体が
２×２×２√２＝２×２×２．８２８４３
の直方体のブロックの中に収まるのに対して，長菱形十二面体では
２×２×（２√２＋１／ｃｏｓ（θ／２））＝２×２×４．０５３１７
また，菱形十二面体の二面角はすべて１２０°であるのに対して，長菱形十二面体の二面角は１２０°と９０°となります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】菱形台形十二面体（rhombic trapezoid dodecahedron）
等しい大きさの球を規則的に空間充填するには，平面上に正六角形の配置，すなわち，それぞれの球が６個の球に囲まれるように第１層を構成し，第２層は第１層のくぼみに球を置くという積み方が考えられます．
この積み方は八百屋の店先でミカンなどの山を安定に積み上げるために使われている日常的な配置ですが，上の層の置き方に
(1)第１，２，３層目がすべてずれていて，第１層目の球の真上に第４層目の球がくる（ＡＢＣＡＢＣＡＢＣ・・・）
(2)第１層目の球の真上に第３層目の球がくる（ＡＢＡＢＡＢ・・・）
という２種類があります．
(1)は別の角度からみると，立方体の８個の頂点と６面の中心に球が配置されているところから面心立方格子と呼ばれている配置ですが，この場合の充填率は√２π／６（７４．０４％）になります．(2)は六方最密充填です．
六方最密充填でも面心立方充填でもすべての球はほかの１２個の球に接触していて，どちらの配置の空間充填率も等しく√２π／６（７４．０４％）です．このとき，球を中心にして空間をボロノイ分割すると(1)からは菱形台形十二面体が，(2)からは菱形十二面体ができあがります．
菱形台形十二面体は，菱形十二面体の鈍な頂点ｏ3を両極として，蓋＋胴＋底と分けた一方のｏ3を含む蓋を６０°回転させたもので，菱形台形十二面体の蓋と底には平行な対面をもたない面ができることになります．
そのため，菱形十二面体を積み上げて空間を充填するときにはすべての多面体の軸を平行にとるだけで３次元空間を埋めつくす充填ですが，菱形台形十二面体を積み上げて空間を充填するときには１段ごとにその軸方向を６０°回転させることになります．以下に，菱形台形十二面体による六方最密充填模型を掲げます．
菱形台形十二面体の二面角はすべて１２０°です．なお，台形面の上底・下底はもとの菱形十二面体の菱形面の１辺の長さを１として
１＋ｃｏｓθ＝１．３３３３３
１−ｃｏｓθ＝０．６６６６６７
と計算されます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【補】球の最密充填と最疎被覆
菱形十二面体が面心立方格子のボロノイ図であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ図となっています．空間における球の配置を考えると，球の中心が面心立方格子を形成したとき，球の最密充填であることが証明されています．ところが，球による空間の最疎被覆は面心立方格子ではありません．最疎な球被覆問題は球の中心が体心立方格子をつくるときであることが証明されています．
平面では充填配置も被覆配置も正六角形配置になっていたのですが，平面における正六角形の役割を菱形１２面体がすべて引き継いでいるわけではないのです．その理由は，平面では正六角形は円に内接および外接するのに対して，菱形１２面体は球に外接するが内接しない，一方，切頂８面体は球に内接するが外接しないことに起因しています．そのため，ある問題では球に外接する多面体が重要になり，別の問題では内接する多面体が重要になるのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【補】ボロノイ分割
まず，簡単な縄張りのモデルを考えてみよう．草原のいくつかの巣穴にネズミが一匹ずつ棲んでいるとする．個々の縄張りが単独で存在するとき，縄張りはほぼ円であると考えることができるが，個体密度が次第に高くなってくると，縄張り所有者は互いに侵入者を追い払おうとするから，縄張り間に境界ができる．二匹のネズミの力に差がないとき，境界線は隣り合った２つの巣穴を結ぶ線分の垂直二等分線になる．そして，個体密度が十分高くなると，結局，棲息地はいくつかの凸多角形で分割されることになる．
このように，はじめに点の分布（母点）があって，隣り合った２点を結ぶ線分の垂直二等分線を次々に引いていくことによりできる多角形パターンは，ディリクレ領域またはボロノイ領域と呼ばれる．この概念は，はじめディリクレによって２次元で提出され（１８５０年），その後，ボロノイによって３次元に拡張された（１９０８年）．研究分野によりいろいろな呼び名が使われていて，たとえば，地理学分野ではティーセン多角形と呼ばれているし，物性物理学分野では，ウィグナー・ザイツセルという呼び名も用いられている．細胞（セル）の図と非常に似ているためであろう．
この多角形モデルは領域の中心を占める対象が形成する勢力圏をモデル化したものであり，空間の次元が３，４，・・・にも拡張することができ，３次元では多面体，４次元では多胞体によって空間分割されることになる．また，勢力に差があれば垂直二等分線ではなく，強いほうにふくらんだ境界曲線ができるし，領域の中心を占める対象が母点ではなく，線であったり面であったりすると，それぞれの条件に対応したデフォルメされたボロノイ図を考えることができる．
たとえば，領域の中心を占める対象が球である場合，２個の球の表面に至る距離が等しくなるような点の集合を考えると，これらの点から２球の中心に至る距離の差は常に２球の半径の差になるから一定である．したがって，これらの点の集合は回転双曲面を作ることになる．そして，２球の半径が等しいときにはこの面は平面となる．
最後に，２次元・３次元格子状配置のディリクレ領域について触れておこう．１次元格子は直線上に等間隔に並んだ点の集合であり，すべての１次元格子は点の間隔が違うだけで，本質的には同じものである．しかし，２次元格子には基本的な種類が２つある．ひとつは等間隔に並んだ横列の各点の真上に他の横列の点があるもので，もうひとつは横列の点を水平方向にずらしたものである．すなわち，２次元格子の形は平行四辺形（正方形，長方形，菱形を含む）になるが，その格子点の各点に対して垂直二等分線を引くと，すべて合同なディリクレ領域ができる．また，どのような２次元格子であっても，そのディリクレ領域は４角形あるいは６角形になる．
無限に多くの２次元格子があるが，その対称性を考えると，本質的な配置は，正方形，長方形，菱形，二等辺三角形あるいは正三角形を２つ貼り合わせた平行四辺形状配置の５つしかない．それに対応するディリクレ領域も，正方形，長方形，切頂菱形（ソロバン珠型），長６角形（亀甲型），正６角形の５種類に限られることになる．
ディリクレ領域の概念は３次元にも一般化できる．２次元格子は５種類だったが，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類ある．そして，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかない．
平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致している．平行多面体は結晶構造と深く関係していて，それぞれ，単純立方格子，六方格子，面心立方格子，底心格子（直方体の８個の頂点と上面・下面の面の中心に原子が配置されている構造），体心立方格子に対応するものであろう．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
