平行体の体積とグラミアン」シリーズでは，

［１］２（２^n−１）面体（置換多面体）の体積公式

［２］３^n−１面体の体積公式

について，２つの方法

［１］漸化式

［２］行列式（グラミアン）

で計算したところ，どちらの多面体でも４次元まで［１］［２］は一致したものの５次元以上で乖離してしまった．

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［１］２（２^n−１）面体（置換多面体）の体積公式

　辺の長さを１に規格化する．

　　Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

原正多胞体の面数公式を

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

とすると，置換多面体の体積公式は

　　Ｖn＝（Ｎ0Ｖn-1Ｈ0＋Ｎ1Ｖn-2Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ

　たとえば，漸化式で，８枚の正六角形と６枚の正方形からなる切頂八面体の体積を求めると

　　Ｖ3＝（４Ｖ2Ｈ0＋６Ｖ1Ｈ1＋４Ｖ2Ｈ2）／３＝８√２

となって正しい解が得られた．

［２］３^n−１面体の体積公式

　辺の長さを１に規格化する．

　　Ｈk＝ｈk／２ω＝ｈk／（２ｎ＋ｎ（ｎ−１）√２）

原正多胞体の面数公式を

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

とすると，正軸体版の体積公式は

　　Λn＝（Ｎ0Λn-1Ｈ0＋Ｎ1Λn-2Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ

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　行列式の方が美しい．だからこちらが正しいとは断定できないが，行列式の方が正しいとすると

［１］２（２^n−１）面体（置換多面体）の体積公式

　　Ｖ2＝３√３／２

　　Ｖ3＝８√２

　　Ｖ4＝１２５√５／４

　　Ｖ5＝３２４√３

　　Ｖ6＝１６８０７√７／８

　　Ｖ7＝６５５３６

［２］３^n−１面体の体積公式

　　Ｖ2＝２（１＋√２）

　　Ｖ3＝２２＋１４√２

　　Ｖ4＝２６２＋１８４√２

　　Ｖ5＝４１０６＋３１２８√２

　　Ｖ6＝９１２３６＋５７１７２√２

　　Ｖ7＝４（４７６７０９＋３９３５８１√２）

　次元に依存した処理はしていないので，４次元までＯＫ，５次元でＮＧなら原因の究明は容易だと思われたが，いまだ５次元以上での乖離の原因はつかめていない．

［雑感］この結果も（その３３）−（その３８）の結果と整合しているように思える．当初は，面数２（２^n−１）の空間充填多面体（置換多面体，頂点数（ｎ＋１）！）を使えばよりよい上界・下界評価が可能になるかもしれないとかんがえていたのであるが，３^n−１面体に期待を掛けたい．

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