ｒ^2k〜（２ｋ＋１）^(-1/2}・（π／２ｋ^2）^k・ｋ！

に

　　ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2＝ｒ

を代入すると

　　｛（ｊ＋１）（２ｋ−ｊ）／８ｋ^2（２ｋ＋１）｝^k

　〜（２ｋ＋１）^(-1/2}・（π／２ｋ^2）^k・ｋ！

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}｛４／π・（ｊ＋１）（２ｋ−ｊ）／（２ｋ＋１）｝^k

［１］ｊ＝０のとき

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}｛８／π・２ｋ／（２ｋ＋１）｝^k

　　（２ｋ）／（２ｋ＋１）＝１／（１＋１／２ｋ）

　　｛１／（１＋１／２ｋ）｝^k〜ｅｘｐ（−１／２）

［２］ｊ＝１のとき

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}｛８／π・（２ｋ−１）／（２ｋ＋１）｝^k

　　（２ｋ−１）／（２ｋ＋１）＝１−１／（ｋ＋１／２）

　　｛１−１／（ｋ＋１／２）｝^k+1/2〜ｅ

　いずれにせよ，スターリング近似式に似ていない．

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