もし，置換多面体の体積が内接球で近似できるとしたら

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2}／２^n/2・｛２／ｎ（ｎ＋１）｝^n

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(-1/2}・２^n/2／ｎ^n

～　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

　　ｒ^n～ＶnΓ(n/2+1)／π^(n/2)

が成立しなければならない．

　ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　ｒ^2k～Ｖ2kｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・（π／２ｋ^2）^k・ｋ！

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　また，切頂切稜面までの距離は

　　ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ－ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2

で与えられる．

　　ｈ0＝｛１／２ｎ（ｎ＋１）｝^1/2＝ｒ

とすると，

　　ｒ^2k＝｛１／２・２ｋ（２ｋ＋１）｝^k

　　ｋ！～（２ｋ＋１）^(1/2}・（π／２ｋ^2）^-k｛４ｋ（２ｋ＋１）｝^-k

～（２ｋ＋１）^(1/2}・｛２π（２ｋ＋１）／ｋ｝^-k

～（２ｋ＋１）^(1/2}・｛２π（２ｋ＋１）／ｋ｝^-k

　　（２ｋ＋１）／２ｋ＝（１＋１／２ｋ）

　　（１＋１／２ｋ）^ｰk→ｅｘｐ（－１／２）

　　ｋ！～（２ｋ＋１）^(1/2}・（４π）^-kｅｘｐ（－１／２）

であるから，まったくスターリング近似式に似ていない．

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