（その１８）の計算が不調であったからには，コラム「スターリングの公式の図形的証明」もどこか計算がおかしいはずである．しかし，明らかにできず．

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【１】垂線の足

　直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に点Ｐ（ｘ0，ｙ0）から下ろした垂線の足をＱ（Ｘ，Ｙ）とすると，

　　ａＸ＋ｂＹ＋ｃ＝０，（Ｙ−ｙ0）／（Ｘ−ｘ0）＝ｂ／ａ

より，

　　ｂ（Ｘ−ｘ0）−ａ（Ｙ−ｙ0）＝０・・・（１）

　また，

　　ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ＝ａｘ0＋ｂｙ0−ａＸ−ｂＹ＝−ａ（Ｘ−ｘ0）−ｂ（Ｙ−ｙ0）

より

　　ａ（Ｘ−ｘ0）＋ｂ（Ｙ−ｙ0）＝−（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）・・・（２）

　（１），（２）より，垂線の足は

　　Ｘ−ｘ0＝ａ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）

　　Ｙ−ｙ0＝ｂ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）

　また，点Ｐと直線の距離は（１）（２）の辺々２乗して足すと

　　（ａ^2＋ｂ^2）｛（Ｘ−ｘ0）^2＋（Ｙ−ｙ0）^2｝＝（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）^2

より，

　　（Ｘ−ｘ0）^2＋（Ｙ−ｙ0）^2＝｜ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ｜／（ａ^2＋ｂ^2）^1/2　　　（ヘッセの公式）

で与えられます．

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【２】垂線の足（その２）

　高次元の場合は推して知るべしであるが，ｎ次元空間の点の座標ｘと超平面ａ・（ｘ−ｂ）＝０が与えられている場合に，超平面上の垂線の足の座標を求めたい．しかし，前節のアルゴリズムでは，それが一意に定まらない．

　阪本ひろむ氏が一意に決定することができるアルゴリズムを教えてくれた．

［１］点Ｑから超平面ａ・（ｘ−ｂ）＝０ への垂線の足をｘとすると，

ｔａ，ｘ−Ｑはともに超平面と垂直（したがっておなじ向き）．

［２］X-Q=ta，a･(X-b)=0がともに成立するようなtをもとめる．

　　Solve[a･((Q+ta)-b)==0,t]

［３］tをもとめたら，X=Q+taが垂線の足．

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