多様体とは，各点の近傍が局所的なユークリッド空間になっていて，全体としては様々な性質をもつ図形を意味します．現在われわれが住んでいる宇宙も局所的に見るとユークリッド的に見えますが，もっと大きく見ると非ユークリッド的であってもよいわけです．

　宇宙は曲がった空間であると考えられているのですが，宇宙全体を見渡すと，もしかしたら想像もつかないような３次元多様体になっているのかも知れません．ガウスがホーエル・ハーゲン，ブロッケン，インゼルスベルクの３つの山頂からなる巨大な三角形の測量に基づいて，この疑問に答えようとしていたことは有名な逸話になっています．

　ｎ次元の多様体上でのリーマン計量の幾何を考えることが可能なのですが，ともあれ，アインシュタイン理論（宇宙の大域的構造は何か？）のようにユークリッド空間とは異なるピタゴラスの定理が成り立つ世界が存在するのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】リーマン計量とは？

　リーマンはゲッチンゲン大学におけるガウスの後任教授ですが，多様体の概念はリーマンに始まります．多様体では，空間が伸びたり縮んだり曲がったりしているわけですから，その際，空間の各点において長さを測るためのモノサシが必要になります．

　どうやって長さを測るかを決めるモノサシが「リーマン計量」なのですが，ピタゴラスの定理を拡張するだけなので，おそるるに足りません．リーマン計量は，誰でも知っているピタゴラスの定理

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2

のなかに隠されています．ここで，斜辺ｄｓのことを線素と呼びますが，これは測地線（最短曲線）を与える素という意味です．

　この式をもっと詳しく書くと

　　（ｄｓ）^2＝１（ｄｘ）^2＋０ｄｘｄｙ＋０ｄｙｄｘ＋１（ｄｙ）^2

となりますが，これを一般化した

　　（ｄｓ）^2＝ｇ11（ｄｘ）^2＋ｇ12ｄｘｄｙ＋ｇ21ｄｙｄｘ＋ｇ22（ｄｙ）^2

が２次元多様体におけるピタゴラスの定理の本来の姿なのです．

　　ｇ21＝ｇ12

なので，対称行列Ｇを

　　Ｇ＝［ｇ11，ｇ12］

　　　　［ｇ12，ｇ22］

とおくと，２次元多様体におけるピタゴラスの定理は行列表現

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ，ｄｙ）Ｇ（ｄｘ，ｄｙ）’

のように２次形式で表されます．

　２次元ユークリッド空間，すなわち，平面の座標が碁盤の目になっている場合の計量がユークリッド・リーマン計量で，

　　Ｇ＝［１，０］

　　　　［０，１］

したがって，

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2

というわけです．

　一般の３次元では，

　　Ｇ＝［ｇ11，ｇ12，ｇ13］

　　　　［ｇ12，ｇ22，ｇ23］

　　　　［ｇ13，ｇ23，ｇ33］

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）Ｇ（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）’

　曲率，捻率とは違って，これらは接平面上における２次形式

　　（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）Ｇ（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）’

を与えるものであって，曲面の曲がり方を定める「テンソル」と呼ばれる量です．

　平面曲線の曲率はスカラーの値です．空間曲線には曲率の他に捻率（れいりつ）という概念がでてきます．一方，曲面の曲率は「テンソル」となりますが，曲面の曲がり方を測る尺度として，ガウス曲率・平均曲率というような概念もでてきます．スカラー→ベクトル→テンソル，さらに高次元ではスピノル→ツイスターなどが「曲率」を測る尺度になるのです．

　４次元，５次元，１０次元（フェルミオンの世界），２６次元（ボゾンの世界），・・・，ｄ次元でも同様に表現され，２次形式でアフィン・ベクトル空間に距離が導入されます．なお，対称行列（ｇij＝ｇji）なので，リーマン計量の独立成分はｄ^2個ではなく，ｄ（ｄ＋１）／２個です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】接続のホロノミー

　ｇをリーマン計量として，向き付けられたｎ次元リーマン多様体Ｍ^nがあるとします．Ｍとｇの組（Ｍ^n，ｇ）をリーマン多様体といいます．リーマン多様体には対称線形接続（リーマン接続，レビ・チビタ接続）がただひとつ存在します．

　「接続」とは地図のことを考えてみるとよいのですが，たとえば，地球は球面ですが，地図は平面で表現されます．五万分の１の地図と，同じ区域の二万五千分の１の地図四枚を考察すると，それぞれは曲面を平面に変換した地図であり，共有する領域にはある種の変換式がなければなりません．（この変換式が成り立つことが多様体の条件である．）

　リーマン多様体（Ｍ^n，ｇ）上の点Ｐを固定して，点Ｐを出て点Ｐに戻る閉曲線を考えます．接ベクトル場Ｘをこの閉曲線に沿って区分毎に接続していって戻ったものをτＸと書くと，このような閉曲線をいろいろとるとき，τは群（Ｘを平行移動させる群）をなし「ホロノミー群」と呼ばれます．（もっと単純にＸをｎ次元ベクトル，τをｎ×ｎ行列と考えてもそれほど違いを生じません．）

　すなわち，リーマン計量ｇからホロノミー群が得られるのですが，この接続は長さを変えません（等長変換）から，ホロノミー群はＳＯ（ｎ）の部分群となります．また，実数ばかりを扱うわけではなく，複素数値であったり，ときには四元数であったりもします．そうなるとホロノミー群は一般にリー群となります．

　接続のホロノミー群はリーマン多様体の曲がり方をリー群を用いて測る尺度といってもよいのですが，ホロノミー群により大域的に平行なテンソル場が定まり，それによりリーマン多様体の（大域微分）幾何構造が定まりますから，ホロノミー群の分類定理は（大域微分）幾何構造のおおまかな分類定理とも考えられます．そして，接続のホロノミーは常微分方程式の幾何学化を含む多くの問題への応用をもっています．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　それでは，どのようなリー群がリーマン多様体（Ｍ^n，ｇ）のホロノミー群として実現可能かというと，ベルジェらによって詳しく調べられ５０年前に完全に解決されています（ベルジェ，１９５５）．

　向き付けられたリーマン多様体のレビ・チビタ接続のホロノミー群は，通常は特殊直交群ＳＯ（ｎ）ですが，任意の部分群に簡約されるわけではありません．一般のｎ次元ユークリッド空間のリーマン多様体に対してホロノミー群はＳＯ（ｎ）となるのですが，ＳＯ（ｎ）はｎ×ｎ直交行列の群すなわちｎ次元実ベクトル空間における回転群です．

　また，複素ｎ次元（複素数は２つの実数で定義されるのでその実次元は２ｎ次元をもつことになる）の複素ユークリッド空間における複素多様体（ケーラー多様体）に対しては，ユニタリー群Ｕ（ｎ）の部分群となります．ユニタリー群Ｕ（ｎ）は複素共役をとって転置することを意味する（エルミート共役）~を用いて，Ａ^(-1)＝Ａ~を満たす行列の集合です．転置と複素共役を組み合わせた作用を(~)で表すことにすると，実数変数行列と複素変数行列の対応は以下のようになります．

　実数 複素数

　　対称行列（Ａ’＝Ａ ）　　→　エルミート行列（Ａ~＝Ａ）

　　直交行列（Ａ’＝Ａ^(-1)）→　ユニタリー行列（Ａ~＝Ａ^(-1)）

　　反対称行列（Ａ’＝−Ａ ）→　反エルミート行列（Ａ~＝−Ａ）

　既に分類されている対称空間とＳＯ（ｎ），Ｕ（ｎ）を除くと，特殊ホロノミー群は

　　ＳＵ（ｎ）・・・・・・・・２ｎ次元

　　Ｓｐ（ｍ）・・・・・・・・４ｍ次元

　　Ｇ2 ・・・・・・・・・・・７次元

　　Ｓｐｉｎ（７）・・・・・・８次元

　　Ｓｐ（ｍ）Ｓｐ（１）・・・４ｍ次元

の５通りに限られます．

　シンプレクティック群Ｓｐ（ｍ）は四元数と密接な関係があり，ホロノミー群がＳｐ（ｍ）・Ｓｐ（１）となるリーマン多様体は，四元数ケーラー多様体と呼ばれます．アインシュタイン多様体は不定値リーマン多様体の例であり，相対論に関連したものが有名です．

　また，リッチ曲率は最も単純なリーマン不変量の１つなのですが，残り４つの場合はリッチ曲率（リッチテンソル）が零となるリッチ平坦なリーマン多様体です．ＳＵ（ｎ）をホロノミー群とする２ｎ次元リーマン多様体はカラビ・ヤウ多様体（複素多様体），Ｓｐ（ｍ）の場合はハイパーケーラー多様体（複素多様体），Ｇ2をホロノミー群とする多様体はＧ2多様体（実多様体，７次元），Ｓｐｉｎ（７）の場合はＳｐｉｎ（７）多様体（実多様体，８次元）と呼ばれています．Ｇ2，Ｓｐｉｎ（７）は例外ホロノミー群とも呼ばれます．

　スピノル群はパウリ行列の一般化と考えることができるのですが，ベクトルが３６０°回転してやると元に戻るのに対して，スピノルは３６０°回転させると反対向きになり，７２０°回転させてやるとはじめて元に戻る量です．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［補］パウリ行列とクリフォード代数

　パウリ行列は

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

の３組の２×２行列で与えられるのですが，いずれも２乗すると単位行列になります．

　　σx^2＝Ｅ2，σy^2＝Ｅ2，σz^2＝Ｅ2

　また，行列のかけ算は非可換なのですが，パウリ行列では，

　　σxσy＝ｉσz，σyσx＝−ｉσz

のように符号が逆となり，

　　σxσy＋σyσx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　σxσy−σyσx＝２ｉσz

のような関係が成立します．

　　αx＝［０，０，０，１］　　αy＝［０，　０，０，−ｉ］

　　　 　［０，０，１，０］　　　 　［０，　０，ｉ，　０］

　　　 　［０，１，０，０］　　　 　［０，−ｉ，０，　０］

　　　 　［１，０，０，０］　　　 　［ｉ，　０，０，　０］

　　αz＝［０，　０，１，　０］　　β＝［１，０，　０，　０］

　　　 　［０，　０，０，−１］　　　　［０，１，　０，　０］

　　　 　［１，　０，０，　０］　　　　［０，０，−１，　０］

　　　 　［０，−１，０，　０］　　　　［０，０，　０，−１］

　これらの４組の２×２行列をディラック行列と呼ぶのですが，ディラック行列をパウリ行列で表現すると，

　　αx＝［０，σx］　　αy＝［０，σy］　　αz＝［０，σz］

　　　 　［σx，０］　　　 　［σy，０］　　　 　［σz，０］

　　β＝［Ｅ2，　０］

　　　　［０，−Ｅ2］

　　αx^2＝Ｅ4，αy^2＝Ｅ4，αz^2＝Ｅ4，β^2＝Ｅ4

　　αxαy＋αyαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　αxαy−αyαx＝２ｉ［σz，０］

　　　　　　　　　　　　［０，σz］

　　αxβ＋βαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　αxβ−βαx＝２［０，−σx］

　　　　　　　　　　［σx，　０］

と計算されます．ディラック行列がパウリ行列に一工夫加えた様子を窺い知ることができるでしょう．

　ともあれ，

　　ξiξj＋ξjξi＝２δij

なる関係式があれば，ξはクリフォード代数をなすというわけです．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　再度，ベルジェのリストを整理しておきます．

　対称空間でない，向き付けられたｎ次元リーマン多様体（Ｍ^n，ｇ）が単連結かつ既約であるとする．このとき，そのホロノミー群はＳＯ（ｎ），Ｕ（ｎ／２），ＳＵ（ｎ／２），Ｓｐ（ｎ／４），Ｓｐ（ｎ／４）・Ｓｐ（１）（ｎ≧８），Ｇ2，Ｓｐｉｎ（７）のいずれかである（ベルジェ，１９５５）．

　対応する多様体は

　　Ｕ（ｎ／２）・・・・・・・・・・・・・・ケーラー多様体

　　ＳＵ（ｎ／２）・・・・・・・・・・・・・カラビ・ヤウ多様体（＊）

　　Ｓｐ（ｎ／４）・・・・・・・・・・・・・ハイパーケーラー多様体（＊）

　　Ｓｐ（ｎ／４）・Ｓｐ（１）（ｎ≧８）・・四元数多様体

　　Ｇ2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・Ｇ2多様体（＊）

　　Ｓｐｉｎ（７）・・・・・・・・・・・・・Ｓｐｉｎ（７）多様体（＊）

　ベルジェはこれらの中で４つのリー群，

　　ＳＵ（ｎ／２），Ｓｐ（ｎ／４），Ｇ2，Ｓｐｉｎ（７）

が零リッチ曲率を与える計量をもつことを示しました．（＊）はリッチ平坦．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【補】擬リーマン計量

　ユークリッド空間における線素ｄｓは回転で不変です．すなわち，

　　［ｄｘ’］＝［　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ］［ｄｘ］

　　［ｄｙ’］　［−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］［ｄｙ］

とおくと

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2＝（ｄｘ’）^2＋（ｄｙ’）^2

ですから，回転は（ユークリッド）距離を保つ変換（等長変換）です．

　このように，なんらかの数学的な変換を施しても，ある物理量が不変のとき対称性があるというのですが，三角関数を双曲関数に変えたローレンツ変換

　　［ｄｘ’］＝［ｃｏｓｈθ，ｓｉｎｈθ］［ｄｘ］

　　［ｄｙ’］　［ｓｉｎｈθ，ｃｏｓｈθ］［ｄｙ］

を考えた場合，

　　（ｄｓ）^2＝−（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2＝−（ｄｘ’）^2＋（ｄｙ’）^2

が不変になります．この場合，ｄｓを１種の距離（＝双曲距離）と見なせば，ローレンツ変換も等長変換と考えることができます．

　また，

　　ｓｉｎ（ｉθ）＝ｉｓｉｎｈθ，

　　ｃｏｓ（ｉθ）＝ｃｏｓｈθ

ですから，

　　［ｄｘ’］＝［　ｃｏｓｉθ，ｉｓｉｎｉθ］［ｄｘ］

　　［ｄｙ’］　［ｉｓｉｎｉθ，　ｃｏｓｉθ］［ｄｙ］

これより，ローレンツ変換とは虚の回転，すなわち実数であるはず時間ｘを虚数と見なした回転と等価です．

　ユークリッド空間におけるリーマン計量は，符号で表現すると（＋１，＋１，・・・，＋１）でしたが，物理学においては，ミンコフスキー空間における擬リーマン多様体がより重要になります．この場合の計量は（−１，＋１，＋１，・・・，＋１）という符号の型をもちますが，このような多様体をローレンツ多様体ともいいます．また，任意の符号（±１，±１，・・・，±１）をもつ擬リーマン計量を擬ユークリッド計量といいます．

　特殊相対論の４次元ミンコフスキー空間，すなわち，時空（ｔ，ｘ，ｙ，ｚ）はローレンツ多様体の１例になっています．

　　（ｄｓ）^2＝−（ｄｔ）^2＋（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2＋（ｄｚ）^2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　一般的に，ｇが対称で行列式≠０なるとき，ｇを擬リーマン計量といいます．ｇは対称ですから行列式の固有値は実数です．また，指数とは対称行列を対角化したとき，対角成分のうち＋のものがｐ個，−のものがｍ個あるとすると，その差：ｓ＝ｐ−ｍのことであって，対称行列には指数（または符号数）と呼ばれる不変量が対応します．

　行列Ａの指数はＡだけで決まり，対角化の仕方には依存しないことは，初等解析学の「シルヴェスターの慣性法則」で学んだとおりですが，これが空間の符号数の不変性なのです．

　ｍ＝０のとき正定値，ｍｐ≠０のとき不定値，ｐ＝０のとき負定値といいます．不定値リーマン多様体の例はアインシュタイン多様体で相対論に関連したものが有名で，（１次元の時間×３次元の空間）ですから（１，３）または（３，１）の指数をもつ不定計量ｇが研究の対象とされます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【補】幾何学と単純リー群の分類

　基本単体を鏡映も許しながら自分自身に重ねていく操作がルート系であり，それは，アメリカのキリングやフランスのカルタンによって成し遂げられた単純リー群の分類と関係しています．

　それによれば，階数ｎの既約ルート系は，Ａk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のいずれかであり，既約ルート系の分類の基づいて，単純リー群を分類すると９つの型があり，それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの古典型とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外型でした（カルタンの分類定理）．

　単純リー群を分類するという問題はある意味では興味深い幾何学の可能性を決定することになります．キリングやカルタンの研究は面白い幾何学がどれだけできるかという設問に対する解答でもあり，大ざっぱにいえば，Ａ型が複素ユニタリ幾何，Ｂ型とＤ型がそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何，Ｃ型が４元数上の幾何学，５つの例外型は８元数上の幾何学に対応しています．線形代数はＡkという特定のルート系の理論であり，ユークリッド空間やシンプレクティック空間の幾何に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論というわけです．

　カルタンによりコンパクト単純リー群は，例外的なものを除き，Ａ型，Ｂ型，Ｃ型，Ｄ型の４系列をなしていることが知られていますが，そのうちの２系列

　　Ｂ型　　　ＳＯ（２ｎ−１）（ｎ≧２）

　　Ｄ型　　　ＳＯ（２ｎ）　　（ｎ≧３）

は回転群で，Ｂ型とＤ型はそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何に対応しています．なお，ｎ＝４が例外であることがこのことからもみてとれるでしょう．

　ＳＯ（ｎ）はｎが偶数のとき（ｎ＝２ｍ，カルタンのＤn），ｍ個の２次元部分空間に分解でき，そのディンキン図形は

　　　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　　　／

　　・−・−・・・−・

　　　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　　　・

となります．それに対して，ｎ＝２ｍ＋１のとき（Ｂn）のディンキン図形は

　　・−・−・・・＝・

となります．

　ＳＵ（ｎ＋１）＝Ａnの重みはｎ−１次元空間で正単体，すなわち，ＳＵ（２）に対し正三角形，ＳＵ（３）に対し正四面体をなします．したがって，ＳＵ（ｎ）のディンキン図形は

　　・−・−・・・−・−・

になり，ＳＵ（２）に対するディンキン図形は・，ＳＵ（３）に対しては・−・と表されます．また，Ｓｐ（２ｎ）＝Ｃnのディンキン図形は

　　・−・−・・・＝・

となります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝