ミンコフスキーの格子点定理（ミンコフスキーの第１定理）は数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．

　「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」

　今回のコラムでは，これの双対と考えられる「多面体による球体近似」定理（ミンコフスキーの第２定理）

　　２^n／ｎ！≦ｖｏｌ（Ｋ）≦２^n

を紹介します．

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【１】ミンコフスキーの第２定理

　一般に中心対称な凸体（もっと一般的に０が重心であるような凸体）Ｋに対して，

　　２^n／ｎ！≦ｖｏｌ（Ｋ）≦２^n

はミンコフスキーの第２定理と呼ばれています．

　すなわち，Ｋの体積は１辺の長さ２の立方体とそれを切断した直角三角錐の体積の中間になるというものです．冒頭で紹介したように両者は数学的双子なのですが，それにしてもよく似ていると思いませんか？

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【２】マーラーの不等式

　立方体領域：Ｋ＝｛｜ｘ1｜≦１，・・・，｜ｘn｜≦１｝の体積は２^n，また，正八面体領域：Ｋ~＝｛｜ｘ1｜＋・・・＋｜ｘn｜≦１｝の体積は２^n／ｎ！で与えられます．両者は極双対集合です．

　中心対称な凸体（もっと一般的に０が重心であるような凸体）Ｋとその極双対集合Ｋ~に対して，マーラーの不等式

　　４^n／（ｎ！）^2≦ｖｏｌ（Ｋ）ｖｏｌ（Ｋ~）≦４^n

成立します．

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【３】ブラシュケ・サンターロの不等式

　ブラシュケ・サンターロの不等式は

　　ｃ1^n／ｎ！≦ｖｏｌ（Ｋ）ｖｏｌ（Ｋ~）≦ｃ2^n／ｎ！

というものです．

　前節のマーラーの不等式は最良のものではなく，定理の上限については

　　ｖｏｌ（Ｋ）ｖｏｌ（Ｋ~）≦ｖｏｌ（Ｂ^n）^2＝π^n／Γ^2（ｎ／２＋１）が成り立ちます．下限については

　　４^n／ｎ！≦ｖｏｌ（Ｋ）ｖｏｌ（Ｋ~）

が予想されています（マーラー予想）．

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【４】ブルン・ミンコフスキーの不等式

　ミンコフスキー和Ａ＋Ｂは図形Ａを構成する点の位置ベクトルと図形Ｂを構成する点の位置ベクトルの和全体がなす図形であり，一方の図形の原点がもう一方の図形の境界上を一周するように平行移動させたときにできる和集合である．（いろいろな使い道があるものだと感心したのだが）ロボットの原点が踏み込んではならない領域を表すのに応用することができる．

　日本の国土をＡ，半径ｒの円板をＢとして，陸地の各点にこの円板を貼り付けることによって定まる領域がＡ＋Ｂである．すなわち，陸地からの距離がｒ以下の海の部分を陸地に加えた領域がミンコフスキー和Ａ＋Ｂである．

　Ａ，Ｂ，Ａ＋Ｂの３つの面積の関係を述べたものがブルン・ミンコフスキーの不等式である．これまでは平面での場合を述べたが，一般のｎ次元図形に対しても不等式

　　｜Ａ＋Ｂ｜^1/n≧｜Ａ｜^1/n＋｜Ｂ｜^1/n

が成立する（平面図形の場合はｎ＝２）．等号成立はＡとＢは相似の位置にあるか，またはＡはＢの平行移動であるときである．

　また，２つの凸図形Ｋ0，Ｋ1が与えられたとき，Ｋ0からＫ1への連続変形

　　Ｋt＝（１−ｔ）Ｋ0＋ｔＫ1　　　（０≦ｔ≦１）

においては

　　｜Ｋt｜^1/n≧（１−ｔ）｜Ｋ0｜^1/n＋ｔ｜Ｋ1｜^1/n

が成り立つ．

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