ｊ次元面までの距離ｒjは

　　｛（ｊ＋１）（１／（ｊ＋１）−１／（ｎ＋１））^2＋（ｎ−ｊ）（１／（ｎ＋１））^2｝^1/2

＝｛（ｎ−ｊ）／（ｊ＋１）（ｎ＋１）｝^1/2

である．ｊ＝０〜１の近傍，すなわち，

　　ｒ^2＝ｎ／（ｎ＋１），（ｎ−１）／２（ｎ＋２）〜１

辺の長さ１の場合はｒ^2〜１／２

を調べてみたい．

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　もし，置換多面体の体積がこの球で近似できるとしたら

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2}／２^n/2・｛２／ｎ（ｎ＋１）｝^n

〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)（１／２）^n/2

　　２^n/2（ｎ＋１）^-1/2／ｎ^n　〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)（１／２）^n/2

　　Γ(n/2+1)　〜　（π／４）^n/2（ｎ＋１）^1/2ｎ^n

が成立しなければならない．

　ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　ｋ！　〜　（π／４）^k（２ｋ＋１）^1/2（２ｋ）^2k

　　ｋ！　〜　（π／４）^k（２ｋ）^1/2・２^2k（ｋ^k）^2

　　ｋ！　〜　（π）^k（２ｋ）^1/2・（ｋ^k）^2

であるから，これもまったくスターリング近似式に似ていない．万事窮す．

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