ｊ次元面までの距離ｒjは

　　｛（ｊ＋１）（１／（ｊ＋１）－１／（ｎ＋１））^2＋（ｎ－ｊ）（１／（ｎ＋１））^2｝^1/2

＝｛（ｎ－ｊ）／（ｊ＋１）（ｎ＋１）｝^1/2

である．ｊ＝ｎ／２の近傍，すなわち，

　　ｒ^2＝ｎ／（ｎ＋１）（ｎ＋２）～１／ｎ

辺の長さ１の場合はｒ^2～１／２ｎ

を調べてみたい．

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　もし，置換多面体の体積がこの球で近似できるとしたら

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2}／２^n/2・｛２／ｎ（ｎ＋１）｝^n

～　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

～　π^(n/2)/Γ(n/2+1)｛１／２ｎ｝^n

　　２^n/2（ｎ＋１）^-1/2／ｎ^n

～　π^(n/2)/Γ(n/2+1)／２^nｎ^n

　　２^3n/2（ｎ＋１）^-1/2 ～　π^(n/2)/Γ(n/2+1)

　　Γ(n/2+1)　～　（π／８）^n/2（ｎ＋１）^1/2

が成立しなければならない．

　ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　ｋ！　～　（π／８）^k（２ｋ＋１）^1/2

であるから，

　　ｋ！　～　（π／８）^k（２ｋ）^1/2

となって，階乗関数が概指数関数で近似できることになってしまう．

［雑感］まったくスターリング近似式に似ていない．重ね重ね残念！

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