１−ｙ1＝２／ｎ（ｎ＋１）

より，規格化前（正単体の辺の長さ１）の置換多面体の体積は

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2}／２^n/2・｛２／ｎ（ｎ＋１）｝^n

　また，辺の長さ√２のｊ次元面までの距離ｒjは

　　｛（ｊ＋１）（１／（ｊ＋１）−１／（ｎ＋１））^2＋（ｎ−ｊ）（１／（ｎ＋１））^2｝^1/2

＝｛（ｎ−ｊ）／（ｊ＋１）（ｎ＋１）｝^1/2

であるから，正単体の内接球の半径はｊ＝ｎ−１とおいて，

　　ｒ＝｛１／ｎ（ｎ＋１）｝^1/2

辺の長さ１の場合は

　　ｒ＝｛１／２ｎ（ｎ＋１）｝^1/2

　もし，置換多面体の体積が内接球で近似できるとしたら

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2}／２^n/2・｛２／ｎ（ｎ＋１）｝^n

〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)｛１／２ｎ（ｎ＋１）｝^n/2

　　２^n/2（ｎ＋１）^-1/2／ｎ^n

〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)｛１／２ｎ（ｎ＋１）｝^n/2

　　２^n（ｎ＋１）^(n/2-1/2)／ｎ^n/2 〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)

　　２^n（１＋１／ｎ）^(n/2)（ｎ＋１）^-1/2 〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)

　　Γ(n/2+1)　〜　（π／４）^n/2（１＋１／ｎ）^(-n/2)（ｎ＋１）^1/2

が成立しなければならない．

　ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　ｋ！　〜　（π／４）^k（１＋１／２ｋ）^(-k)（２ｋ＋１）^1/2

　（１＋１／２ｋ）^(-2k)→１／ｅ

であるから，

　　ｋ！　〜　（π／４）^k（２ｋ／ｅ）^1/2

となって，階乗関数が概指数関数で近似できることになってしまう．

［雑感］まったくスターリング近似式に似ていない．残念！

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