【１】置換多面体の切頂・切稜点

　　Ｐ0（０，・・・，０）

　　Ｐ1（ａ1，０，・・・，０）

　　Ｐ2（ａ1，ａ2，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn（ａ1，・・・，ａn）

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

　　ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）

とおく．

　　１／ａj-1^2＋１／ａj^2＝２（ｊ−１）ｊ＋２ｊ（ｊ＋１）＝（２ｊ）^2

より

　　（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2

は

　　（ｙj-1−ｙj）／２ｊ＝（ｙj−ｙj+1）／２（ｊ＋１）

となる．

　点Ｑ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn-1，０）から，

　　ｘ1＝ａ1平面

　　ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面

までの距離が等しいことより，

　　（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）／２＝（ｙ2−ｙ3）／３＝・・・＝（ｙn-2−ｙn-1）／（ｎ−１）＝（ｙn-1−ｙn）／ｎ

　　２（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）

　　３（ｙ1−ｙ2）＝２（ｙ2−ｙ3）

　　４（ｙ2−ｙ3）＝３（ｙ3−ｙ4）

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　（ｎ−１）（ｙn-3−ｙn-2）＝（ｎ−２）（ｙn-2−ｙn-1）

　　ｎ（ｙn-2−ｙn-1）＝（ｎ−１）（ｙn-1−ｙn）

　第ｘ行まで足しあわせて整理すると

　　２（ｙ0−ｙn-1）＝（ｎ−１）（ｙn-1−ｙn）→ｙn-1＝（２ｙ0＋（ｎ−１）ｙn）／（ｎ＋１）

　　２（ｙ0−ｙn-2）＝（ｎ−２）（ｙn-2−ｙn-1）→ｙn-2＝（２ｙ0＋（ｎ−２）ｙn-1）／ｎ

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　２（ｙ0−ｙ2）＝２（ｙ2−ｙ3）→ｙ2＝（２ｙ0＋２ｙ3）／４

　　２（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）→ｙ1＝（２ｙ0＋ｙ2）／３

　具体的には

　　ｙn-1＝２／（ｎ＋１）

　　ｙn-2＝（２＋２（ｎ−２）／（ｎ＋１））／ｎ＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙn-3＝２（１＋（ｎ−３）（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１））／（ｎ−１）＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）＝６（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

となるが，

　　ｙj＝（２＋ｊｙj+1）／（ｊ＋２）

のままにしておく．ともあれ，これで置換多面体の体積計算の基点だけは求まったことになる．

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【２】中心から各面までの距離

　　Ｐn（ａ1，・・・，ａn）

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

と切頂切稜面の距離を求める．

　２次元正単体の場合，

　　Ｐ2（１／２，√（１／１２））＝（ａ1，ａ2）

　　Ｐ1（１／２，０）

　　Ｐ0（０，０）

３次元正単体の場合，

　　Ｐ3（１／２，√（１／１２），√（１／２４））＝（ａ1，ａ2，ａ3）

　　Ｐ2（１／２，√（１／１２），０）

　　Ｐ1（１／２，０，０）

　　Ｐ0（０，０，０）

　切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）

を通る．

ＰnＰ0＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

ＰnＰ1＝（０，−ａ2，−ａ3，・・・，−ａn）

ＰnＰn-1＝（０，・・・，０，−ａn）

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので

　　ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｃ1＝−（ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ1＝−（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，・・・，０，−ａn）

　　ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2

　　ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａn^2）^1/2

　　‖ａk‖^2＝１／２（ｋ＋１）（ｋ＋２）＋・・・＋１／２ｎ（ｎ＋１）＝１／２（１／（ｋ＋１）−１／（ｎ＋１））＝（ｎ−ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）

　辺の長さを１に規格化する．

　　Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

しかしながら，規格化のための係数｜１−ｙ1｜が簡単な形にならないのである．

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