Σ(1,∞)k^mlogkから発散するｎのべき乗項を引いた残りを定数と考えると，偶数次元では

　　−ζ’（−ｓ）

奇数次元では

　　定数−ζ’（−ｓ）

の形となりましたが，この定数について，大阪の花本先生より興味深い結果を教えていただきました．

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【１】グレイシャー（Glaisher）の定数の一般化について

　Σ(1,∞)k^mlogkから発散するｎのべき乗項を引いた残りを定数と考えて，一般化Glaysher数をAm，ベルヌーイ数をBn，調和関数Hn=1+1/2+1/3+・・・+1/nとすれば，

　　Am=B(m+1)Hm/(m+1)-ζ’(-m)

が成り立つというものです．

　たとえば，

［１］ｍ＝１のとき

　　Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)･logn-n^2/4+C

　　C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+･･･

となりましたが，

　　Ｂ2＝１／６，Ｈ1＝１，ｍ＋１＝２

ですから，

　　Ｃ＝１／１２−ζ’（−１）＝Ａ1

［２］ｍ＝３のとき

　　Σk^3logk〜(n^4/4+n^3/2+n^2/4-1/120)･logn-n^4/16+n^2/12+C

　　C=1/16-1/12+1/120-1/5040+1/33600-･･･

となりましたが，

　　Ｂ4＝−１／３０，Ｈ3＝１＋１／２＋１／３＝１１／６，ｍ＋１＝４

定数Ｃは

　　Ｃ＝−１１／７２０−ζ’（−３）＝Ａ3

［３］ｍ＝２ｎのとき

　ベルヌーイ数の奇数項は第一項以外は０ですから，

　　Ａm＝−ζ’（−ｍ）

で与えられるというものです．

（文献）Polygamma Functions of negative order

Victor S.Adamchic 1998

JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS

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【２】まとめ

　ｍが小さいとき，偶数次元では

　　−ζ’（−ｍ）

奇数次元では

　　定数−ζ’（−ｍ）

は確認できておりましたが，ｍが大きくなったときもこのように表されるかについては何ともいえません．しかし，このことは正しいことがわかりました．大きな進展です．

　なお，リーマン予想の３つの同値な言い換えとして，

［１］コッホの結果（１９０１年）より，リーマン予想＝「ｎとｎ＋ｋ√ｎの間に素数はある」ですが，

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^1/2ｌｏｇｘ）

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜≦Ｃ・ｘ^1/2ｌｏｇｘ

　　Ｌｉ（ｘ）＝∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］ラガリアスの同値条件（２００２年）

　ｎの約数の和をσ（ｎ）で表すと，リーマン予想は

　　σ（ｎ）≦Ｈn＋ｌｏｇＨnｅｘｐＨn

がｎ≧１に対して成立すると等価です．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］ロバンの同値条件（１９８４年）

　オイラーの定数γを用いると，リーマン予想は

　　σ（ｎ）＜ｅｘｐγｎｌｏｇｌｏｇｎ

がｎ＞５０４０に対して成立すると等価です．

　［２］［３］は初等的な条件になっていて，さらに

　　Am=B(m+1)Hm/(m+1)-ζ’(-m)

にも調和級数のｎ次部分和

　　Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

が関わっているのを見ると，リーマン予想との関係が想起されます．

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