Σk^3logk〜(n^4/4+n^3/2+n^2/4-1/120)･logn-n^4/16+n^2/12+C

　　C=1/16-1/12+1/120-1/5040+1/33600-･･･

について進展があり，定数ｃは

　　ｃ＝−１１／７２０−ζ’（−３）

で与えられることがわかった．

　（その４）〜（その１２）で検討したことについて，当初は

　　ζ（ｓ）＝Σ１／ｋ^s

　　ζ（−ｓ）＝Σｋ^s

　　−ζ’（−ｓ）＝Σｋ^sｌｏｇｋ

であるから，

　　−ζ’（−ｓ）

と明確に決定できると思われた．

　偶数次元ではそれでよいのであるが，奇数次元では

　　定数−ζ’（−ｓ）

の形となった．今回のコラムでは−ζ’（−ｓ）を求めることを考えてみたい．

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【１】Re(s)＞１のとき

　ゼータ関数を複素数へ拡張する場合，素朴に

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Σexp(-slogn)

ｓ＝ｕ＋ｖｉ，ｕ＝Re(s)，ｖ＝Im(s)として，オイラーの公式を用いれば

　　ζ(s)＝Σexp(-ulogn){cos(-vlogn)+isin(-vlogn)}

　　　 ＝Σn^(-u)cos(vlogn)-ｉΣn^(-u)sin(vlogn)

　　ζ(s)=f(u,v)+ig(u,v)

のように解析的に求められればよいのですが，無限級数和ですから実部Reζ(s)も虚部ζ(s)も解析的には定められそうにありません．どうやら近似値を求める必要がありそうです．

　ζ(s)＝Σｎ^(-s)はRe(s)＞１ならば解析接続可能な領域ですからゼータ関数の値は存在し，ｓが複素数でも絶対収束します．解析的な値を求めることはできなくても近似値ならMathematicaなどで求めることができ，具体的な答えを返してくれます．また，そうであるからには人間の手計算でも（何日かかるかはわからないが）できるはずです．

　実変数の場合の例をあげますが

　　ζ(2)=Σ1/n^2=1+1/4+1/9+1/16+･･･

を使って求めようとすると小数点以下２位まで精確に求めるだけで２００項以上必要になります．これでは計算効率が悪いので収束を加速させるための工夫が必要です．

　たとえば，

　　ζ(2)=1+Σ1/n^2(n+1) (n=1~)

　　ζ(2)=7/4+Σ1/n^2(n^2-1) (n=2~)

　　ζ(2)=2-Σ1/n^2(4n^2-1) (n=1~)

　　ζ(2)=59/36+Σ1/n^2(n^2-1)(4n^2-1) (n=2~)

　　ζ(2)=235/144+4Σ1/(n-2)(n-1)n^2(n+1)(n+2) (n=3~)

などはζ(2)=Σ1/n^2よりも速くπ^2/6に収束します．

　　ζ(3)=5/4-Σ1/(n-1)n^3(n+1) (n=2~)

　　ζ(3)=1+Σ1/n^3(4n^4+1) (n=1~)

　　ζ(3)=9/8+Σ1/n^3(9n^8+18n^6+21n^4+4) (n=1~)

　　ζ(3)=115/96+4Σ1/(n-2)(n-1)n^3(n+1)(n+2) (n=3~)

などもその例で，杉岡幹生氏との掛け合い漫才「奇数ゼータと杉岡の公式」シリーズにも類似の公式が掲げられています．

　また，２項係数を使った

　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

　　Σ1/n(2n,n)=π√3/9

　　Σ2^n/n(2n,n)=π/2

　　ζ(2)=3Σ1/n^2(2n,n)

　　ζ(2)=12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)

　　ζ(3)=5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)

　　ζ(4)=36/17Σ1/n^4(2n,n)

なども有効でしょう．→コラム「ゼータとポリログ関数」参照

　なお，

　　ζ(3)=5/2Σ(-1)^(n+1)/n^3(2n,n) (n=1~)

より，

　　ζ(5)=R*Σ(-1)^(n-1)/n^5(2n,n)

と予想されますが，

　　ζ(5)=2Σ(-1)^(n+1)/n^5(2n,n)-5/2Σ(Σ1/n^2)(-1)^(n+1)/n^3(2(-1)^(m+1)/m^3(2m,m) (n,m=1~)

　　　　=5/2*Σ(1/1^2+1/2^2+･･･+1/(n-1)^2-4/5n^2)(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)

となって，予想に反して，Ｒはたとえ有理数であったにしても，簡単なものにはならないということです．

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【２】０＜Re(s)＜１のとき（オイラー・マクローリンの和公式）

　たとえば，漸近公式

　　ζn(x)=Σ1/k^x=logn+γ+1/2n-1/12n^2+120n^4-1/252n^6+･･･ (k=1~n)

　　γ=0.57722･･･（オイラーの定数）

では，ｎ→∞のときζn(x)→ζ(x)に収束します．複素変数の場合であっても，Re(s)＞１ならば解析接続可能な領域ですからゼータ関数の値は存在し絶対収束します．

　解析的な値を求めることはできなくても近似値なら求めることができます．私はMathematicaがどのようにして近似値を求めているのかその手法を知りませんが，Mathematicaの近似値計算手法はサポート会社に訊ねても答えてくれるかどうかはわかりません．

　それではRe(s)＜１のときはどうなのでしょうか？　１７３２年にオイラーは今日オイラー・マクローリンの和公式として知られている公式を証明なしに発表しました．それ以降，この公式を使って既知の級数をきちんと評価できるようになりました．

　ゼータ関数に対するオイラー・マクローリンの和公式の応用例

　　ζ(s)＝1/(s-1)+1/2-s∫(1,∞)(x-[x]-1/2)/x^(s+1)dx

において，この式の右辺の積分はRe(s)＞０で絶対収束します．すなわち，この式はRe(s)＞０へのζ(s)の解析接続を与えていることになります．また，ｓ＝１が極であることも見て取れます．

　このことから０＜Re(s)＜１のときのζ(s)の値もオイラー・マクローリンの和公式を使って意味をもたせることができ，たとえば，半整数点での値

　　ζ(1/2)=-1.46035

を求めることができます．普通の意味では無限大になっているはずですが（奇妙なことに）発散しません．

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【３】Re(s)＜０のとき（関数等式）

　オイラー・マクローリンの和公式は，ベルヌーイ数Ｂ2kを使えばさらに左側に進むことができます．

　　ζ(s)=1/(s-1)+1/2+ΣB2ks(s+1)･･･(s+2k-2)/(2k)!-s(s+1)･･･(s+2m)∫(1,∞)(-1)^(m-1)Σ2sin2πnx/(2πn)^(2m+1)/x^(s+2m+1)dx

右辺の積分はRe(s)>-2mであれば存在し，s>-2m,s≠1なるすべてのｓについて定義することができます．

　しかし，このような区分的な解析接続ではなく，もっとうまい手があります．結論を先にいうと，ｓを複素変数とするとき，関数等式

　　ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)

を用いればζ(s)をｓ＝１（極）を除くすべての複素数に対して意味をもたせることができ，ｓを−１とすると値が−１／１２，２とすると値が０になるというわけです．Γはガンマ関数です．

　また，

ξ(s)=1/2s(s-1)π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

あるいは

ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

で定義すると

ξ(s)=ξ(1-s)

のように完全に左右対称な美しい形に書くことができます．ガンマ関数はゼータ関数の仲間と思ってほしい所以です．

　関数等式は

(1)ｓを複素変数として複素全平面への解析接続を与えることができること

(2)ζ(s)がRe(s)=1/2を対称軸とする美しい対称性をもっていること

を示しています．

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