ここでは，

　　Σｋ^3ｌｏｇｋ

について考えてみる．定数Ｃは

　　Ｃ＝−ζ’（−３）

で与えられるだろうか？

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　　ｆ（ｘ）＝ｘ^3ｌｏｇｘ 　　ｆ^(5)（ｘ）＝−６／ｘ^2

　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2ｌｏｇｘ＋ｘ^2　　ｆ^(6)（ｘ）＝１２／ｘ^3

　　ｆ”（ｘ）＝６ｘｌｏｇｘ＋５ｘ ｆ^(7)（ｘ）＝−３６／ｘ^4

　　ｆ^(3)（ｘ）＝６ｌｏｇｘ＋１１ 　ｆ^(8)（ｘ）＝１４４／ｘ^5

　　ｆ^(4)（ｘ）＝６／ｘ 　　　　ｆ^(9)（ｘ）＝−７２０／ｘ^6

より，

　　ｆ^(k)（ｘ）＝(-1)^k６（ｋ−４）！／ｘ^k-3

　　ｆ^(2k-1)（ｘ）＝−６（２ｋ−５）！／ｘ^2k-4

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　　Σ(1,n)k^3logk〜∫(1,n)x^3logxdx+(f(n)+f(1))/2+ΣB2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

　　∫(1,n)x^3logxdx=[x^4/4･logx]-∫(1,n)x^3/4dx=n^4/4･logn-n^4/16+1/16

　　(f(n)+f(1))/2=n^3logn/2

　　(f'(n)-f'(1))/12=1/12･(3n^2logn+n^2-1)

　　(f^(3)(n)-f^(3)(1))/720=(6logn-6)/720

　　(f^(5)(n)-f^(5)(1))/30240=(-6/n^2+6)/30240

　　(f^(7)(n)-f^(7)(1))/1209600=(-36/n^4+36)/1209600

　　B2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))=-6B2k/(2k)!（２ｋ−５）！（１／ｘ^2k-4−１）→-6B2k/(2k)(2k-1)(2k-2)(2k-3)(2k-4)

　　Σk^3logk〜(n^4/4+n^3/2+n^2/4-1/120)･logn-n^4/16+n^2/12+C

　　C=1/16-1/12+1/120-1/5040+1/33600-･･･

　　Σk^3logk〜(n^4/4+n^3/2+n^2/4-1/120)･logn-n^4/16+n^2/12-6ΣB2k/(2k)(2k-1)(2k-2)(2k-3)(2k-4)

　　K=3~

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