Σ(n!)^2/(2n)! x^n

の収束半径が4となるのはすぐわかる．

　ｘも含めて，項比をとると

　　ａn+1／ａn＝（ｎ＋１）^2／（２ｎ＋２）（２ｎ＋１）・ｘ→ｘ／４

となるから．

　ｘ＝±４のとき発散することはすでに調べてある．ここでは類似の問題を調べてみたい．

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［１］Σ(n!)/(2n)! x^n

　ｘも含めて項比をとると

　　ａn+1／ａn＝（ｎ＋１）／（２ｎ＋２）（２ｎ＋１）・ｘ＝ｘ／（２ｎ＋１）→０，したがって，すべてのｘの範囲で収束する．

［２］Σ(-1/nx)^n

　ｘも含めて項比をとると

　　ａn+1／ａn＝−１／（ｎ＋１）（ｎ／（ｎ＋１））^n・１／ｘ→０（ｘ≠０），したがって，ｘ＝０以外のすべてのｘの範囲で収束する．

［３］Σｘ^n／ｎ^x

　ｘも含めて項比をとると

　　ａn+1／ａn＝（ｎ／（ｎ＋１））^x・ｘ→ｘ，

したがって，−１＜ｘ＜１の範囲で収束する．

　　ｘ＝１のとき，Σａnｘ^n＝Σ１／ｎ（発散）

　　ｘ＝−１のとき，Σａnｘ^n＝Σ（−１）^nｎ（発散）

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