調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞

は容易に示すことができます．

　ここでは，

　　Σ１／ｋｌｏｇｋ〜ｌｏｇ（ｌｏｇｎ）→∞

を示すことにします．

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　Σ（１／ｐ）〜ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）　（ｐはｐ≦ｘの素数を動く，証明略）

ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）は１／（ｘｌｏｇｘ）の原始関数です．素数の逆数の和Σ（１／ｐ）については

　　ｌｉｍ｛Σ（１／ｐ）−ｌｏｇｌｏｇｎ｝→０．２６１４９・・・

［１］Σ１／ｋｌｏｇｋ〜∫ｄｘ／ｘｌｏｇｘ〜ｌｏｇ（ｌｏｇｎ）＋Ｏ（１）

［２］Σ１／（ｎ＋ｋ）＝Σ１／ｋ−Σ１／ｋ

＝（ｌｏｇ（２ｎ）＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／２ｎ））−（ｌｏｇ（ｎ）＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｎ））

＝ｌｏｇ２＋ｏ（１／ｎ）

［３］Σ（ｎ−ｋ＋１）／ｋ＝−ｎ＋１＋（ｎ＋１）Σ１／ｋ

〜−ｎ＋（ｎ＋１）（ｌｏｇ（ｎ）＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｎ））

〜ｎ（ｌｏｇｎ−１）〜ｌｏｇｎ！

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