ポアンカレは空間の形について研究し，ホモロジー理論を組み合わせ的に作り「３次元多様体はホモロジーが球面と同じならば同相である」という内容の誤った定理を書いた．しかし，彼は自分自身の誤りに気づき，ホモロジーは３次元球面と等しいが，基本群が３次元球面と異なるポアンカレ・ホモロジー球面　

　　ｘ^2＋ｙ^3＋ｚ^5＝０，｜ｘ｜^2＋｜ｙ｜^2＋｜ｚ｜^2＝１　　　（ｘ，ｙ，ｚは複素数）

を構成した．

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【１】高次元位相的ポアンカレ予想

　ｎ次元球面に対して，単連結でホモロジー群がｎ次元球面と等しいならば同相か？

［１］ｎ≧５のとき，この予想は正しい（スメール，１９６０年代）

［２］ｎ＝４のとき，この予想は正しい（フリードマン，１９８２年）

［３］ｎ＝３のとき，この予想は正しい（ペレルマン，２００３年）

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【２】高次元微分可能ポアンカレ予想

　微分か濃厚増も考えて，ｎ次元球面に対して，単連結でホモロジー群がｎ次元球面と等しいならば同相か？

［１］ｎ＝４のとき，未解決．

［２］ｎ≧７のとき，反例がある．

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