３次元多様体に対して，リッチ流を考えてリーマン計量を変形することにより，３次元多様体を標準的なものに分解し，それぞれの部分が幾何構造をもつようにできるという研究が，ハミルトンやペレルマンによってなされた．

　これが正しいことがわかり，サーストンの予想やポアンカレ予想が肯定的に解かれたのである．

　　［参］佐久間一浩「トポロジー集中講義」培風館

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ポアンカレ

　１８９５年，ポアンカレは論文の中で誤った定理「３次元球面（４次元球の表面）

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝１　　　（ａ，ｂ，ｃ，ｄは実数）

はホモロジー群の計算から特徴づけられる」を発表した．

　１８９８年，ポアンカレはこの誤りに気づき，３次元球面と同じホモロジー群をもつが，それとは基本群の異なる３次元多様体

　　ｘ^2＋ｙ^3＋ｚ^5＝０，｜ｘ｜^2＋｜ｙ｜^2＋｜ｚ｜^2＝１　　　（ｘ，ｙ，ｚは複素数）

を構成してみせた．

　そして，１９０４年，「任意の単連結な３次元閉多様体は３次元球面に同相か？」という問いを残した．これが有名な（３次元）ポアンカレ予想である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ミルナー

　ミルナーが７次元球面（８次元球の表面）の異種微分構造，いわゆる「エキゾチックな球面」を発見したことで，ポアンカレ予想は大きな分岐点を迎えることになった．

　この研究を契機に４次元以上では

［１］微分可能ポアンカレ予想

［２］位相的ポアンカレ予想

の２つに分けて議論されるようになった．［１］が正しければ［２］も正しい．ただし逆は必ずしも真ならず．

　さらに，ミルナーは７次元以上で微分可能ポアンカレ予想は一般に正しくないことを発表した．

　また，スメールは５次元以上で位相的ポアンカレ予想は正しいことを発表した．これと前後してミルナーは５次元と６次元で微分可能ポアンカレ予想も正しいことを発表した．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】他の研究者たち

　３次元では微分可能ポアンカレ予想＝位相的ポアンカレ予想は同じ問題であること（［１］＝［２］），４次元以上では一般に異なる問題であること（［１］≠［２］）を解明した．

　したがって，１９６０年代には次の３つのポアンカレ予想が未解決であった．

［３］４次元位相的ポアンカレ予想（→１９８１年，フリードマンが解決）

［４］３次元微分可能・位相的ポアンカレ予想（→２００２年，ペレルマンが解決）

［５］４次元微分可能ポアンカレ予想（→未解決であるが２０１０年になって部分的解決）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝