高次元はパラドックスの源泉になっていて，しばしば，たちの悪い現象が起こります．たとえば，立方体に内接する球の体積を較べてみると，３次元での直観とは極めて異なる振る舞いを見せることが実感されます．今回のコラムではスターリングの公式を用いて高次元での振る舞いを漸近評価してみます．

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【１】ｎ次元超立方体

　ｎ次元ユークリッド空間において，１辺の長さが１の立方体[-1/2,1/2]^nをｎ次元単位立方体といいます．その体積は１ですが，もっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さはｎ次元ユークリッド空間の距離の定義から

　　√（１^2＋１^2＋・・・＋１^2）＝√ｎ

となります．したがって，次元ｎが大きくなると対角線の長さ√ｎはどんどん大きくなり，身長１７０ｃｍの人間はおろか，ついには地球でさえ含むことができるようになります．

　辺の長さが４の正方形に４つの単位円板を詰めると，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．また，辺の長さが４の立方体の８つのカドに単位球を８個詰めると，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円，第９の球の半径はそれぞれ√２−１，√３−１だとわかります．

　これと同じことを４次元以上の空間で行うことができます．もはやイメージすることは不可能ですが，１辺の長さが４の４次元超立方体の１６個のカドに１６個の単位球を詰めると，中の隙間には半径√４−１＝１の４次元超球（すなわち単位球）が入ります．同様に，１辺の長さが４のｎ次元超立方体の２^n個のカドに単位球を詰めると，中の隙間に半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．

　しかし，ここの驚きが潜んでいます．たとえば，ｎ＝９の場合，中に詰められるｎ次元超球の半径は√９−１＝２であり，この球は外側の立方体の表面に接してしまい，ｎ＞９だとはみ出してしまうのです．この驚くべき結論は，日常生活ではありえないだけに面食らってしまいます．

　次元とともにはみ出る部分が増えているのですが，球の詰め込みに関するこのはみ出し現象は，モーザーのパラドックスとして知られているものです．この逆説は，人間の直観や勘は３次元までの世界では働きますが，４次元以上の高次元についてはあまり働かないという例として，しばしば引き合いに出されます．

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【２】ｎ次元超球

　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径），Ｖ2=π（面積），Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．

　したがって，ｎ＝２，３，４では単位立方体（対角線の長さ√ｎ）は単位球体の中に含まれますが，ｎ≧５でははみ出る部分があり，次元とともにはみ出る部分が増えていきます．単位球体の直径は次元によらず２なのです．

　ｎ次元単位超球の体積Ｖn，その表面積を表面積Ｓn-1とすると，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となります．ｎ次元単位超球の体積Ｖnを求めてみると，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に

　　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!

と書くことができます．

　Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：

　　Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

　　ｎが奇数であれば，Ｖn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

　　ｎが偶数であれば，Ｖn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．１次元から６次元までを具体的に書けば，

　　Ｖn＝２，π，４π／３，π^2／２，８π^2／１５，π^3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．

　そして，ｎ→∞のとき，

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

　　Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，１次元から１４次元までの具体的数字は次の通りです．

ｎ Ｖn

１ 2

２ 3.14

３ 4.19

４ 4.93

５ 5.263

６ 5.167

７ 4.72

８ 4.06

９ 3.30

10 2.55

11 1.88

12 1.36

13 0.91

14 0.60

　このように，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は次元とともにどんどん減少します．（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）幾何学では５，６次元を境にして本質的に様子が変わっていることが少なくないのですが，このことはその原因の一端をほのめかしていると考えられます．

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【３】スターリングの公式と漸近評価

　上記のことから，ｎ次元超立方体[-1,1]^n（体積：2^n）において，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．

ｎ Ｖn／２^n

１ 1

２ 0.79

３ 0.52

４ 0.31

５ 0.16

６ 0.08

７ 0.04

８ 0.02

９ 0.006

10 0.0025

　Ｖn／２^nは，ｎ＝１０のとき，すでに１０^(-3)より小さくなるのですが，これを有名なスターリングの近似公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）

を使って書き直してみましょう．すると

　　Ｖn／２^n〜（πｅ／２ｎ）^(n/2)／√πｎ

のように振る舞うことがわかります．

　粗くいうと

　　Ｖn／２^n〜（πｅ／２ｎ）^(n/2)

のオーダーとなりますから，２ｎ＞πｅ＝８．５３９・・・すなわちｎ＞５のとき，Ｖn／２^nは急激に小さくなることが示されます．

　ここで重要なのは，単位超球を超立方体中に置くと，次元が大きくなるにつれて隙間がより大きくなる点です．内接球が立方体の中で無視できるほど小さな粒子のようになり，したがって，高次元において超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分のデータは超球外に位置することになります．ｎ＝２０では１個の超球内の点に対して，４千万個の点が超球外にあることになります．

　また，単位立方体と同じ体積をもつｎ次元超球の半径ｒは

　　Ｖnｒ^n＝１

より

　　ｒ＝Ｖn^(-1/n)

ですから

　　ｒ〜（ｎ／２πｅ）〜０．２４√ｎ

のように増加することも理解されます．

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【４】奇妙な中心断面

（１）ボールの不等式

　ｎ次元単位立方体の断面の体積の最大値について考えてみましょう．１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．

　また，（３次元）単位立方体の断面は，３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．

　２次元・３次元での問題は，４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできますが，ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，

　　１≦Ｖ≦√２

であることが，ボールによって証明されています（1986年）．

　ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点です．ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立しましたが，こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像されます．

（２）ビューズマンの定理とボールの反例

　一方，半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^nですから，体積を１とするｒの値はＶn^(-1/n)で与えられます．また，ｎ次元超球の中心を通る超平面による切り口は（ｎ−１）次元超球であり，その体積はＶn-1ｒ^(n-1)で表されますから，体積が１の超球の切り口の体積は

　　Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

となります．

ｎ Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

２ 1.128

３ 1.209

４ 1.265

５ 1.307

６ 1.339

７ 1.365

８ 1.387

９ 1.405

10 1.420

11 1.434

12 1.445

13 1.456

14 1.465

　体積１の１０次元超球について，その実際の値を計算してみると１．４２０３・・・となり，体積１の１０次元単位立方体の超平面による切り口の体積√２よりも大きくなります．ここで，半径ｒをほんの少し縮小した超球を考えてみると，単位立方体より断面積は大きいが体積は小さい例を作れることがわかります．

　ところで，３次元空間内の２つの点対称凸体Ｋ，Ｋ’に関して，凸体の中心を通る任意の平面について，断面積の不等式

　　Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）

が成り立つならば，体積についても不等式

　　Ｖ（Ｋ）＞Ｖ（Ｋ’）

が成り立つことが知られています（ビューズマンの定理，1953年）．

　ｎ次元であっても，ビューズマンの定理は成り立ちそうに思えます．実際，広く信じられてきたのですが，これが正しいのはｎ≦４のときだけであり，ｎ≧５のときは正しくないのです．

　たとえば，１０次元のボールの例は，

　　Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）

であっても

　　Ｖ（Ｋ）＜Ｖ（Ｋ’）

という高次元におけるビューズマンの反例になっているからです．

　さて，１０次元以上の一般次元であれば，このような反例が具体的に与えられるのでしょうか？

　　Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

とおくと，

　　Ａn/Ａn-2＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)/Ｖn-3・Ｖn-2^(1/(n-2)-1)

ですから，ｎ→∞のとき，

　　Ａn/Ａn-2→(Ｖn/Ｖn-2)^(1/n)=(2π/n)^(1/n)→１

これより，次元を高くすれば断面積はある極限値に収束しそうです．ｎ→∞のとき，Ｖn-1→０，Ｖn→０ですが，Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)の極限値を求めてみることにしましょう．

　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!より，

　　Ａn＝{(n/2)!}^(1-1/n)/{(n-1)/2}!

これを有名なスターリングの近似公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）

を使って書き直してみましょう．簡約化すると

　　Ａn→(n/2)^(n/2)/{(n-1)/2}^(n/2)

　　　　＝{n/(n-1)}^(n/2)

　　　　＝{(1+1/(n-1))^(n-1)}^(1/2)*{n/(n-1)}^(1/2)

　　　　→e^(1/2)

したがって，極限値√ｅ＝１．６４８７・・・に収束することがわかります．

　単位立方体の断面積は√２以下であり，大きなｎに対して単位超球の断面積は

　　√２＜√ｅ＜√３

ですから，これは高次元ではボールの反例がいくらでも作れることを意味しています．

　逆に，９次元以下ではボールの反例は作られませんが，それ以外のビューズマンの反例については，５次元以上で存在することが証明されています（1992年）．しかし，４次元で反例が作れるかどうかは，現在，未解決の問題として残されています．

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