正符号数列ａn＞０に対して，

　　ａn／ａn+1＝１＋ｕ／ｎ＋ｏ（１／ｎ）であるならば，

［１］ｕ＞１のとき，Σａnは収束する．

［２］ｕ＜１のとき，Σａnは発散する．

　したがって，ｕ＝１のときには収束判定できない．そのとき，次の定理を試されたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　正符号数列ａn＞０に対して，

　　ａn／ａn+1＝１＋ｓ／ｎ＋ｏ（１／ｎ^1+ε）であるならば，

［１］ｓ＞１のとき，Σａnは収束する．

［２］ｓ≦１のとき，Σａnは発散する．

［例］ａn＝α（α＋１）・・（α＋ｎ−１）β（β＋１）・・（β＋ｎ−１）／γ（γ＋１）・・（γ＋ｎ−１）δ（δ＋１）・・（δ＋ｎ−１）

　　ａn／ａn+1＝（γ＋ｎ）（δ＋ｎ）／（α＋ｎ）（β＋ｎ）

＝１＋（γ＋δ−α−β）／ｎ＋ｏ（１／ｎ^2）

　したがって，

　　γ＋δ−α−β＞１のとき，収束

　　γ＋δ−α−β≦１のとき，発散

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝