Σａnｘ^n＝Σ(n!)^2/(2n)! x^n

の収束半径が4となるのはすぐわかる．

　項比をとると

　　ａn+1／ａn＝（ｎ＋１）^2／（２ｎ＋２）（２ｎ＋１）・ｘ→ｘ／４

となるから．しかし，x=±4での挙動がわからん（発散するようだ）．

［Ｑ］いかにして証明したらよいか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ラーベ試験（Raabe）

　正符号数列ａn＞０に対して，

　　ａn／ａn+1＝１＋ｕ／ｎ＋ｏ（１／ｎ）であるならば，

［１］ｕ＞１のとき，Σａnは収束する．

［２］ｕ＜１のとき，Σａnは発散する．

［例］Σ(2n)!/n2^2n(n!)^2

　　ａn／ａn+1＝４（ｎ＋１）^3／ｎ（２ｎ＋２）（２ｎ＋１）

＝２（ｎ＋１）^2／ｎ（２ｎ＋１）＝１＋（３／２）／ｎ＋ｏ（１／ｎ）→収束

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　当該の問題（ｘ＝４での挙動）では

　　ａn／ａn+1＝（２ｎ＋２）（２ｎ＋１）／４（ｎ＋１）^2

＝（２ｎ＋１）／２（ｎ＋１）＝１−１／２（ｎ＋１）＝１−（１／２）／ｎ＋ｏ（１／ｎ）→発散

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝