２００３年の東大入試問題に，

　　π＞３．０５

を証明せよという問題が出題された．

　半径１の円に正十二角形を内接させると，その周長は

　　２４ｓｉｎ１５°

となる．

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４

したがって，

　　π＞３（√６−√２）＝３．１０５８３

を得ることができる．

　半径１の円に正十二角形を内接させることによって，

　　π＞３．１

を証明することができた．この方法はもっとも標準的な解法であるが，正八角形の周長だと次のようになる．

　　π／４＞２ｓｉｎ２２．５°＝２｛（１−ｃｏｓ４５°）／２｝^1/2

　　π＞４｛２−√２｝^1/2＝３．０６１４７

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　ここでは内接する正多角形の周長を用いたが，面積を用いて大小比較する場合は，正１２角形でも足りず，正１６角形や正２４角形について検討する必要がある．

　半径１の円に正十二角形を内接させると，その面積は

　　３ｓｉｎ３０°＝３√３／２＝２，５９８０８

となる．

　半径１の円に正１６角形を内接させると，その面積は

　　８ｓｉｎ２２．５°＝４｛２−√２｝^1/2＝３．０６１４７

となる．

　半径１の円に正２４角形を内接させると，その面積は

　　１２ｓｉｎ１５°＝３（√６−√２）＝３．１０５８３

となる．

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