半径１の円に正十二角形を内接させると，その周長は

　　２４ｓｉｎ１５°

となる．

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４

したがって，

　　π＞３（√６−√２）＝３．１０５８３

を得ることができる．

　（その３）では，半径１の円に正十二角形を内接させることによって，

　　π＞３．１

を証明することができた．この方法はもっとも標準的な解法であるが，次のような別解もあるという．

　　［参］佐久間一浩「高校数学と大学数学の接点」日本評論社

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　　１／（１−ｘ^2）＝１＋ｘ^2＋ｘ^4＋ｘ^6＋・・・

０＜ｘ＜１において，

　　１／（１−ｘ^2）＝１＋ｘ^2＋ｘ^4＋ｘ^6＋・・・＞１＋ｘ^2＋ｘ^4／４＝（１＋ｘ^2／２）^2

　したがって，

　　１／√（１−ｘ^2）＞１＋ｘ^2／２

　ここで，両辺を０から１／２＝ｓｉｎπ／６まで積分すると

　　［ｘ＋ｘ^3／６］＝１／２＋１／４８

ｘ＝ｓｉｎθとして置換積分すると

　　∫ｄｘ／√（１−ｘ^2）＝∫ｄθ＝π／６

　　π＞３＋１／８＝３．１２５

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