あるコインが他のコインを回るとき、なぜ、外回りの場合には周長比より１回転多くなり、内回りの場合には周長比より１回転少なくなるのだろうか？

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回られるほうのコインＡ（たとえばその周長はコインＢの３倍）を一点で開いて直線にしてみた。するとコインＢはＡの端から端まで転がる間に３回転する。これが一番上の図であり、これが基準となる。

つぎにまんなかの図のように、Ａの両端を持って半円状になるまで下向きの力を加えてたわめてみる。するとＡに接しているコインＢの向きは変わって、左端で反時計回りに９０度、右端で時計回りに９０度回転する。この結果、Ａの左端から右端まで転がる間にＢは３回転に半回転増えることになる。この操作を、Ａの両端が閉じるまで続けると、コインＢはコインＡを外回りすることになり、回転数は３回転＋１回転になる。

こんどは下の図のように、Ａの両端を持って半円状になるまで上向きの力を加えてたわめてみる。するとＡに接しているコインＢの向きは変わって、左端で時計回りに９０度、右端で反時計回りに９０度回転する。この結果、Ａの左端から右端まで転がる間にＢは３回転から半回転減ることになる。この操作を、Ａの両端が閉じるまで続けると、コインＢはコインＡを内回りすることになり、回転数は３回転−１回転となる。

ようするに、コインＢが接しながら転がる相手Ａが直線ではなく閉じた図形であることが、直感的に思い描く周長比Ａ／Ｂにたいして、１回転分足したり、引いたりしなければならない理由なのであった。

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