■実数のハウスドルフ次元
［０，１］を３等分して中央の区間を取り除くという操作を繰り返す．方眼紙を１枚もってきてこの図形にかぶせ，この図形を覆っているマス目の個数を数える．つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す．もとの図形が線であればマス目の数は２＝２^1倍に，面であればマス目の数は４＝２^2倍に増える．
マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は２倍になるから，
３^d＝２→ｄ＝ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・
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【１】実数のｍ進展開の分布とハウスドルフ次元
実数のｍ進展開は０〜ｍ−１の数字で表されますが，各数字（０〜ｍ−１）の出現確率をｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1
Σｐk＝１，すなわち，ｐ0＋ｐ1＋・・・＋ｐm-1＝１
とします．
０と１の間の数のうち，ほとんどの実数はｍ進展開したとき，各桁に現れる数字の出現確率が均等であることが知られています（正規数）．
また，Ｆ（ｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1）を［０，１）上の実数で，各桁に現れる数字（０〜ｍ−１）の出現確率がｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1であるような実数の集合とすると，Ｆのハウスドルフ次元ｄｉｍＦは
ｄｉｍＦ＝−Σｐkｌｏｇｐk／ｌｏｇｍ
で定義されます．正規数の集合Ｆ（１／ｍ，・・・，１／ｍ）のルベーグ測度１であり，したがって，その次元も１となります．
また，０・ｌｏｇ０＝０と約束しておくことにして，［０，１］を３等分して中央の区間を取り除くという操作を繰り返します．このようにして得られる３分割カントル集合は最も有名なフラクタル集合の１例です．３分割カントル集合は３進展開の各桁に１の現れない数の集合Ｆ（１／２，０，１／２）ですが，そのハウスドルフ次元は
ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・
となります．
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【２】連分数展開
連分数展開が有限で終わることと有理数であることは同値です．そこで，２次方程式の解となる√ｎの連分数展開を求めると，たとえば
√２＝［１：２，２，２，２，・・・］
√３＝［１：１，２，１，２，１，２，１，２，・・・］
√７＝［２：１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］
のように循環型の単純連分数に展開されることが知られています．一般に，２次の無理数（整数係数の２次方程式の解）は周期的な連分数展開をもちます（ラグランジュの定理）．
平方根を無限連分数に表す手順はわりやすく，たとえば，１＜√２＜２であるから
√２＝１＋（√２−１）
＝１＋１／（√２＋１） ２＜√２＋１＜３
＝１＋１／｛２＋（√２−１）｝
＝１＋１／｛２＋１／（√２＋１）｝
＝１＋１／｛２＋１／（２＋（√２−１）｝
＝１＋１／｛２＋１／（２＋１／（√２＋１）｝
＝１＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋・・・
の手順を何度も繰り返すことにより，
√２＝［１：２，２，２，２，・・・］
ができあがります．また，黄金比φ＝（１＋√５）／２は，
φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］
で表されます．
ここでは，ｍ進展開の代わりに連分数展開を用いて数の集合を定義してみますが，たとえば，正の実数が無限連分数展開され，そのすべての部分商が１または２であるような実数の集合のハウスドルフ次元は０．５３１２８０５０６・・・であることが計算されています．
しかし，３次以上の方程式の解，たとえば3√２の連分数展開を求めると，
3√２＝［１：３，１，５，１，１，４，１，１，８，１，１４，１，１０，２，１，４，・・・］
の一般項は求めることができません．この展開に現れる整数に最大値があることも示すこともできないのです．
なお，ヒンチンは，一般の連分数
［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］
の大多数についてあてはまる法則を発見しています．ヒンチンの定理とは，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数
（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･
に収束するというものです．ただし，分母に明確なパターンのある代数的数やｅをはじめとするいくつかの超越数は例外になります．
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【３】ディオファントス近似と位数
連分数とディオファントス近似の理論は密接に関連しています．ディリクレの定理によれば「任意の実数ｘについて
｜ｘ−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^2
を満たす有理数ｐ／ｑが存在する．」
この条件を書き直せば
‖ｑｘ‖＜ｑ^(-1)
となる正の整数ｑが無限に多く存在するというわけです．
実数ｘが無限に多くのｑに対して
‖ｑｘ‖＜ｑ^(1-α)
となるとき，位数αまで近似可能といいます．そして，α＞２となる実数は存在し，そのような実数全体のハウスドルフ次元は２／αであることが証明されています（Jarnikの定理）．
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