２年前にアップロードした「ロボットアームと６次元楕円体」はロボットアームの運動を表現するのに，６次元楕円体が有用であることを解説したコラムである．しかし，実際の手先力空間は６次元楕円体ではなく，この楕円体に外接する高次元の平行多面体（平行２ｎ胞体）となることがわかっている．
この平行多面体の描写は難しくはなく，ｎ次元立方体が描写できればあとはアフィン変換するだけのことである．これについてはコラム
「ロボットアームと６次元直方体」
「高次元の正多胞体」
「ｎ次元楕円をｍ次元空間に投影する」
などを参照されたい．
ところで，今回のコラムでは６次元楕円体に外接する平行２ｎ胞体の３次元切り口の形を求める問題を取り上げたい．６次元楕円の３次元切り口の形については既に「ロボットアームと６次元楕円体」のなかで求めたが，車イスへの応用に際しては正射影よりも３次元切り口が実際の解析に役立ったという経緯がある．
したがって，多面体の場合も正射影よりも３次元切り口が役立つことが予想されるし，楕円の場合と整合性を図るためにも多面体の３次元切り口の形を求めておくことは必要となろう．
この問題は結構難問になると思われた．たとえば，３次元立方体の２次元切り口を考えてみよう．切り口の形は３角形，４角形，５角形，６角形と多彩であって，そのうえ，平行２ｎ胞体の３次元切り口となるとより複雑になることは避けられないだろう．
また，切り口とはいっても，正確には核空間（カーネル）のことであるから，われわれがイメージするものとはかなり異なったものとなる．おそらく，これまでこの問題を手がけた人はほとんどいないだろうとさえ思われるのである．
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【１】問題の定式化
６次元楕円体に外接する平行２ｎ胞体の描写は簡単なのですが，困ったことに 本稿で取り上げる多面体は６次元に退化した７次元平行１４胞体であり，そこでは
τ＝Ｊ’Ｆ
という関係式を考えます．
ここで，Ｆは６×１の手先力ベクトル
Ｆ＝（ｆ1,ｆ2,ｆ3,ｆ4,ｆ5,ｆ6）’＝（Ｆ1,Ｆ2）’
で，Ｆ1＝（ｆ1,ｆ2,ｆ3）’が手先力，Ｆ2＝（ｆ4,ｆ5,ｆ6）’がモーメント．また，τは７×１の関節トルクベクトル
τ＝（ｔ1,ｔ2,ｔ3,ｔ4,ｔ5,ｔ6,ｔ7）’＝（Ｔ1,Ｔ2）’
であって，ｔiは
ｔimin≦ｔi≦ｔimax
なる直方体領域をわたります．Ｊは６×７のヤコビ行列です．
Ｊτ＝ＪＪ’Ｆ
ＪＪ’は正方行列ですから，逆行列（ＪＪ’）^(-1)が定義できて
Ｆ＝（ＪＪ’）^(-1)Ｊτ
したがって，（ＪＪ’）^(-1)ＪがＪ’の逆行列の役割をすることがわかります．そこで，Ｊ’のムーア・ペンローズ行列（疑似逆行列）を（Ｊ’）~と書くことにすると
（Ｊ’）~＝（ＪＪ’）^(-1)Ｊ
すなわち
Ｆ＝（Ｊ’）~τ
となります．Ｊは６×７のヤコビ行列であって，（Ｊ’）~はその転置行列のムーア・ペンローズ行列を表します．これより（Ｊ’）~も６×７行列となります．
そして，多面体は発生可能なすべての関節トルクの集合（直方体）をヤコビ行列によりＦ空間に写像したものであって，それは７次元平行１４胞体（斜方体）が６次元に退化したものとなります．「退化した」という意味はたとえばサイコロの見取り図を平面上に描いたようなものであって，その場合，τ空間の頂点はＦ空間の頂点に写るとは限りません．
ところが，ムーア・ペンローズ行列には以下に述べるような欠点があります．Ｆ→τ→Ｆと写像する場合，
（ＪＪ’）^(-1)ＪＪ’＝Ｉ（単位行列）
となって元のＦの値にに戻るのですが，τ→Ｆ→τと写像する場合には，
Ｊ’（ＪＪ’）^(-1)Ｊ≠Ｉ（単位行列）
となって元には戻らないのです．元に戻らない場合があるので「疑似逆行列」と呼ばれているのですが，逆行列の標準的な定義は，行列が正方行列ではない場合あるいは特異行列の場合には成り立たないのです．
それでも，行列の疑似逆行列は定義することができて，たとえば，すべての要素の平方和を最小にすることで設定できます．このような逆行列は，一般化された逆行列あるいはムーア・ペンローズ型の逆行列ともいわれます．最小２乗フィットに関連した問題で特によく使われます．
ムーア・ペンローズの一般逆行列に問題があるのですが，（いまのところ）これを避けることはできません．したがって，これから先の議論はすべて「近似的な解」を求めるためのものであることをご了承願います．冗長でない場合は正方行列となるので，真の値を出力してくれるプログラムになっているのですが，冗長な場合であっても「近似解」ならば比較的簡単に求められるのです．
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次に，平行２ｎ面体の断面の形を求めやすくするために，ヤコビ行列を４つの部分行列に分割して
（Ｊ’）~ ＝［Ａ，Ｂ］
［Ｃ，Ｄ］
のようにおきます．４分割すると，
［Ｆ1］＝［Ａ，Ｂ］［Ｔ1］＝［ＡＴ1＋ＢＴ2］
［Ｆ2］ ［Ｃ，Ｄ］［Ｔ2］ ［ＣＴ1＋ＤＴ2］
ここで，モーメントＦ2をゼロとした３次元空間での切断面
Ｆ2＝ＣＴ1＋ＤＴ2＝０
の核（カーネル）を求めることになるのですが，部分行列Ａは左上の３×４行列，Ｂは右上３×３行列，Ｃは左下３×４行列，Ｄは右下３×３行列を表すものとします．
場合によってはｆ4＝０などというような１次元断面を求めたいということもあるでしょう．一般にｍ次元断面を求めたいときには，Ａを（６−ｍ）×（７−ｍ）行列，Ｂを（６−ｍ）×ｍ行列，Ｃをｍ×（７−ｍ）行列，Ｄをｍ×ｍ行列とすればよいのです．
また，ｍ＝３とした場合，
Ｆ2＝ＣＴ1＋ＤＴ2＝０
は未知変数７に対して方程式が３つしかないため，原点
（０，０，０，０，０，０，０）
はその自明な解であって，それ以外にも無限個の解をもちます．この無限個の解の集合の具体的な形を求めるというのが，このコラムのテーマです．
以上のことより，カーネルは
Ｔ2＝−Ｄ~ＣＴ1
なる関係式を満たすことになり，切り口は３次元に退化した４次元図形
Ｆ1＝ＡＴ1＋ＢＴ2＝［Ａ−ＢＤ~Ｃ］Ｔ1
で表されるものと考えられました．
なお，Ｆ1＝０なる断面を求めたいならば，
（Ｊ’）~ ＝［Ｃ，Ｄ］
［Ａ，Ｂ］
［Ｆ1］＝［Ｃ，Ｄ］［Ｔ1］＝［ＣＴ1＋ＤＴ2］
［Ｆ2］ ［Ａ，Ｂ］［Ｔ2］ ［ＡＴ1＋ＢＴ2］
のように行列の分割を行うと，これまでの議論がそのまま使えます．
念のため申し添えておきますが，
（Ｊ’）~ ＝［Ａ］
［Ｃ］
のように縦２分割しても問題は簡単にはなりません．
［Ｆ1］＝［Ａτ］ Ｆ2＝Ｃτ＝０
［Ｆ2］ ［Ｃτ］
から先には進めなくなるばかりでなく，次節で述べるマッピング解を得るにしても７重ループが必要になるため，計算所要時間も１０００倍以上余分にかかります．そうなると計算所要時間が許容できる範囲から逸脱してしまいます．
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【２】マッピング
さて，ここで求めるＦ2＝０切り口は，３次元に退化した４次元図形
Ｆ1＝［Ａ−ＢＤ~Ｃ］Ｔ1
で表されることがわかったわけですが，その際，Ｔ1は
Ｔ2＝−Ｄ~ＣＴ1，Ｔ2min≦Ｔ2≦Ｔ2max
を満たす必要があります．
これを満たすような切り口の頂点の座標がすべて計算できればよいのですが，残念ながら，直接頂点の座標を求めることは簡単ではありません．このような理想的な方法は早々に諦めざるを得ないのですが，切り口の形を手っ取り早く計算するには（この時点では）マッピングで代替する以外に手はないだろうと思われました．
この結論には非常にがっかりさせられましたが，やむなくマッピング（ただしサンプリング点は疎）を試みたところ，マッピングでは当初７重ループが必要と思っていたのに，４重ループで済んだので予想以上に短時間で計算できました．最近のＰＣならば４重ループであっても苦もなく計算できるでしょうから，切り口の形はマッピングで十分実用的な計算ができるものと（この時点では）思われました．
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【３】実行例
マッピング解と６次元楕円体の３次元切り口をオーバーラップさせて表示させてあります．
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【４】補足
最後に，平行２ｎ面体に関連した話題をいくつか選んで掲げておきます．
［１］平行２ｎ面体の体積とグラミアン（グラム行列）
２つのベクトルａ↑，ｂ↑を基底とする平行体（平行四辺形）の面積は，外積は
ａ↑×ｂ↑
３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑を基底とする平行体（平行六面体）の体積は，スカラー三重積
（ａ↑×ｂ↑）・ｃ↑
すなわち，外積ａ↑×ｂ↑とベクトルｃ↑の内積で与えられます．
｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂとすれば，平行四辺形の面積は，
Ｓ＝ａｂｓｉｎθ
ですから，
Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2θ）
＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑｜
同様に，平行六面体の体積は
Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑ ａ↑・ｃ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑ ｂ↑・ｃ↑｜
｜ｃ↑・ａ↑ ｃ↑・ｂ↑ ｃ↑・ｃ↑｜
で与えられます．
これらのように，内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行体の面積・体積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．
また，座標を使って表せば，ｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値になります．
｜Ｓ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜１ ｘ2 ｙ2｜ ｜１ ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜１ ｘ3 ｙ3｜ ｜１ ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
｜１ ｘ4 ｙ4 ｚ4｜
原点が含まれるときは，
｜Ｓ｜＝｜ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜ｘ2 ｙ2｜ ｜ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
のように展開されます．
なお，これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形面積，四面体の体積は，
Ｓ’＝Ｓ／２
Ｖ’＝Ｖ／６
また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は，
２^2（２！）^2Ｓ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｃ^2 １｜
｜ｂ^2 ｃ^2 ０ １｜
｜１ １ １ ０｜
２^3（３！）^2Ｖ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 ｃ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｄ^2 ｅ^2 １｜
｜ｂ^2 ｄ^2 ０ ｆ^2 １｜
｜ｃ^2 ｅ^2 ｆ^2 ０ １｜
｜１ １ １ １ ０｜
となります．
前者はヘロンの公式にほかなりませんが，ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，
Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６
ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと
Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．
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［２］菱形格子
平面上に配置した格子点の最近接点間距離が最大値をとるときは，点の配置が正三角形の頂点に等間隔に配置するときであり，空間中の点については，点の配置が立方格子の格子線の交角を６０°になるようにゆがめたときであった．
詳細は，コラム「極大格子群とルート系」を参照願いたいのであるが，その際，グラミアンは
Ｇ＝（ｄ^2／２）^2｜２ １｜
｜１ ２｜
｜２ １ ０｜
Ｇ＝（ｄ^2／２）^3｜１ ２ １｜
｜０ １ ２｜
として得ることができた．
そこで，２次元，３次元の場合と同様に，ｎ次元に拡張したグラミアン
｜２ １ ・・ ０｜
Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜１ ２ ・・ ０｜＝１＝Ｖ^2
｜０ １ ・・ １｜
｜０ ０ ・・ ２｜
より，格子点間距離ｄと球充填密度を求めてみることにするが，
｜２ １ ・・ ０｜
｜１ ２ ・・ ０｜＝１＋ｎ
｜０ １ ・・ １｜
｜０ ０ ・・ ２｜
と計算され，
Ｇ＝（ｄ^2／２）^n（１＋ｎ）＝１＝Ｖ^2
ｄ^2n＝２^n／（１＋ｎ）
と表されることがわかった．
もちろん，このことは１辺の長さが√２の正単体の体積Ｖnが
Ｖn＝√（１＋ｎ）／ｎ！
で与えられること，平行２ｎ面体の体積はｎ次元単体のｎ！倍になることと関係しているのだが，これにより，球充填密度は
Δ（ｎ）＝ｖn（ｄ／２）^n
＝(π/2)^(n/2)／Γ(1+n/2)／（１＋ｎ）^(1/2)
で求められることになる．→コラム「高次元の正多胞体（その４）」参照
｜２ １ １｜ ｜２ １ ０｜
｜１ ２ １｜＝｜１ ２ １｜＝４
｜１ １ ２｜ ｜０ １ ２｜
｜２ １ ・・ １｜ ｜２ １ ・・ ０｜
｜１ ２ ・・ １｜ ｜１ ２ ・・ ０｜
｜１ １ ・・・１｜＝｜０ １ ・・ ０｜＝１＋ｎ
｜１ １ ・・ １｜ ｜０ ０ ・・ １｜
｜１ １ ・・ ２｜ ｜０ ０ ・・ ２｜
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［３］固有値の幾何学的意味
固有多項式の根と係数の関係より，トレース（対角線の項の和）＝固有値の総和が成り立つ．トレースは全固有値の和であり，行列式は全固有値の積ある．
ところで，固有値は幾何学的に何に対応しているのであろうか？ →単位キューブを線型写像で変換したときの各辺の長さと思えばよい．なぜなら，写像：ｙ＝Ａｘによって，単位直方体は平行２ｎ面体に写像されるものとすると，この写像のヤコビアンはＪ＝｜Ａ｜となる．
また，グラミアン
Ｇ＝｜Ａ｜^2
が成立する．したがって，平行２ｎ面体のｎ次元体積は
｜Ｇ｜^(1/2)＝｜Ａ｜
で与えられる．すなわち，行列式＝体積＝固有値の積であって，行列式はｎ本のベクトルで張られる平行２ｎ面体の体積となることが分かる．
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