３辺の長さ比が３：４：５の直角三角形は代表的かつ最小のピタゴラス三角形ですから，ピタゴラス三角形の大家族の元祖という意味で，エジプト三角形と呼ばれることがあります．ピタゴラス三角形のなかでも最も歴史的に由緒正しく最も象徴的な直角三角形なのです．面白いことに３：４：５の直角三角形は正方形の中にもみることができます．

　（その１）では，

［定理］折り紙のひとつの角が辺の中点に来るように折る．このときできる３つの直角三角形はいずれもエジプト三角形（３辺の長さ比が３：４：５の直角三角形）である（芳賀和夫の定理）．

について証明しましたが，それを再掲し，さらにもうひとつのエジプト三角形についても調べてみます．

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【１】証明

　１辺の長さが８の正方形の頂点を

　　Ａ（−４，８）

　　Ｂ（−４，０）

　　Ｃ（４，０）

　　Ｄ（４，８）

にとる．

　点Ｃが辺ＡＤの中点Ｍ（０，８）に来るように折ると，折り線の方程式はＣＭと直交するから，ｙ切片をｂとすると

　　ｙ＝ｘ／２＋ｂ

　この直線から点Ｃ，Ｍまでの距離が等しいことから

　　｜−２−ｂ｜＝｜８−ｂ｜→　ｂ＝３

　　直線ｙ＝ｘ／２＋３と直線ｘ＝４との交点は（４，３）

　　直線ｙ＝ｘ／２＋３と直線ｘ＝−４との交点は（−４，１）

　このときできる３つの直角三角形はいずれも相似であることから，

　　３辺の長さ比が３：４：５の直角三角形

　　３辺の長さ比が４：１６／３：２０／３の直角三角形

　　３辺の長さ比が１：４／３：５／３の直角三角形

となり，いずれもエジプト三角形であることが証明される．

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【２】もうひとつのエジプト三角形

　１辺の長さが８の正方形の頂点を

　　Ａ（−４，８）

　　Ｂ（−４，０）

　　Ｃ（４，０）

　　Ｄ（４，８）

にとる．

　辺ＡＤの中点Ｍ（０，８）と点Ｂ，中点Ｍと点Ｃを結ぶ．次に点ＢからＣＭに垂線を下ろし，垂線の足を点Ｆとする．このとき，三角形ＢＭＦはエジプト三角形になる．

（証）ＣＭの方程式はｙ＝−２ｘ＋８

　　　ＢＦの方程式はｙ＝１／２・ｘ＋２

→点Ｆ（１２／５，１６／５）はＣＭを２：３に内分する．

　三角形ＢＭＦは直角三角形で，

　ＢＭ＝２０√５／５，ＢＦ＝１６√５／５，ＭＦ＝１２√５／５

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