芳賀の定理

［定理］折り紙のひとつの角が辺の任意の点に来るように折って元に戻す．もうひとつの角を同じ点に合わせて折り元に戻す．このときできる交点は正方形の中心線上に来る．また，交点から任意の点までの距離と交点から対辺の２つの角までの３つの距離は常に等しくなる．

は，折り紙の文献にも引用される（おそらく）一番話題の方法である．

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【１】証明

　正方形ＡＢＣＤのＤＡ上に点Ｘをとり，ＤＸ＝ｘとする．ＸＡ＝１−ｘ．次に点ＣをＸに折り込む．点Ｂの移った先をＢ’，折り目をＥＦとする．ただし，ＥとＦはそれぞれ辺ＣＤと辺ＡＢ上にあるとする．また，ＡＦとＸＢ’の交点をＧとする．ＥＤ＝ｙとすれば，ＥＸ＝ＥＣ＝１−ｙ．さらに，ＡＧ＝ｚとする．

　△ＥＤＸは直角三角形なので

　　ｘ^2＋ｙ^2＝（１−ｙ）^2

　　ｘ^2＝１−２ｙ　→　ｙ＝（１−ｘ）（１＋ｘ）／２

　２つの直角三角形△ＤＸＥと△ＡＧＸは相似なので

　　ｚ／（１−ｘ）＝ｘ／ｙ

　　ｚ＝ｘ／ｙ（１−ｘ）＝２ｘ／（１＋ｘ）

　ここで，ｘ＝１／ｎ（線分のｎ等分割点）と仮定すると

　　ｚ＝２／（ｎ＋１）

たとえば，

　　ＸがＡＤの中点（ｘ＝１／２）のとき，ｎ＝２　→　ｚ＝２／３

　　ｘ＝１／３のとき，ｎ＝３　→　ｚ＝１／３

　　ｘ＝１／４のとき，ｎ＝４　→　ｚ＝２／５

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