ベータ関数の多重積分版として，セルバーグは次の積分公式を得ました．

　　∫(0,1)・・・∫(0,1)Πｔi^(x-1)（１−ｔi）^(y-1)Π｜ｔi−ｔj｜^(2z)ｄｔ1・・・ｄｔn

　　＝ΠΓ（x+(j-1)z）Γ（y+(j-1)z）Γ（jz+1）／Γ（x+y+(n+j-2)z）Γ（z+1）

　左辺にある

　　Δn(t)＝Π（ｔi−ｔj）

は差積ですから，電子の励起状態や原子核のエネルギー準位に関連していることが想像されます．

　差積はファンデルモンド行列式に等しく，

　　Δn(t)^(2k)＝Π｜ｔi−ｔj｜^(2k)＝Σc(α1,･･･,αn)ｔ1＾α1･･･ｔn＾αn

のようにｔについての対称式に展開することができます．ここで，c(α)=c(α1,･･･,αn)は整数です．

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【１】ファンデルモンドの行列式

　　｜１　　１　　１　｜

　　｜ａ　　ｂ　　ｃ　｜＝（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）

　　｜ａ^2　ｂ^2　ｃ^2｜

は有名な公式です．

　　｜１　　１｜＝ｂ−ａ

　　｜ａ　　ｂ｜

　　｜１　　１　　１　　１　｜

　　｜ａ　　ｂ　　ｃ　　ｄ　｜＝（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）

　　｜ａ^2　ｂ^2　ｃ^2　ｄ^2｜　　　　　×（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）

　　｜ａ^3　ｂ^3　ｃ^3　ｄ^3｜　　　　　　　　　　×（ｃ−ｄ）

　いずれも右辺は特別な形（差積）になっていますが，これを一般化した公式が「ファンデルモンドの行列式」です．

　　｜１　　　 １　 　　１・・・・１　　　｜

　　｜ｘ1　　　ｘ2　　　ｘ3　　 ・ｘn　 　｜

　　｜ｘ1^2　　ｘ2^2　　ｘ3^2　 ・ｘn^2 　｜＝ＲΠ（ｘi−ｘj）

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・・・・｜　　Ｒ＝(-1)^{n(n-1)/2}

　　｜ｘ1^n-1　ｘ2^n-1　ｘ3^n-1 ・ｘn^n-1 ｜　　(i>j)

　ファンデルモンドの行列式は符号を除いて差積Π（ｘi−ｘj）に等しく，整級数の理論や分割の理論に使われます．(i>j)ですから右辺はnＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２項の積となります．

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【２】シルベスターの終結式

　　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn-1ｘ＋ａn

　　ｇ（ｘ）＝ｂ0ｘ^m＋ｂ1ｘ^(m-1)＋・・・＋ｂm-1ｘ＋ｂm

が共通因子をもつための必要十分条件は，ｎ＋ｍ次の行列式：Ｒｅｓ（ｆ，ｇ）

　　｜ａ0　ａ1・・・ａn・・・・・・０｜

　　｜０ 　ａ0　ａ1・・・ａn・・・０ ｜

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・ ｜

　　｜０・・・・・・ａ0　ａ1・・・ａn｜＝０

　　｜ｂ0　ｂ1・・・ｂm・・・・・・０｜

　　｜０ 　ｂ0　ｂ1・・・ｂm・・・０ ｜

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・ ｜

　　｜０・・・・・・ｂ0　ｂ1・・・ｂm｜

　よく知られているようにｆ（ｘ）＝０が重根をもつためにはｆ（ｘ）＝０，ｆ’（ｘ）＝０が共通根をもつことである．したがって，

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝０

は，ｆ（ｘ）＝０が重根をもつための必要十分条件条件である．たとえば，

　　ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ，ｆ’（ｘ）＝２ａｘ＋ｂ

のとき，

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝−ａ（ｂ^2−４ａｃ）

このように，Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）に方程式の判別式が出現するのは当然のことである．

　ちなみに，楕円曲線

　　ｙ^2＝ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ＋ｑ

はワイエルシュトラスの標準形と呼ばれるものであるが，このとき

　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2＋ｐ

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝４ｐ^3＋２７ｑ^2

となる．４ｐ^3 ＋２７ｑ^2 ≠０はこの代数曲線が特異点をもたないための条件である．

　また，５次方程式

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^5＋ｐｘ＋ｑ＝０

はジラールの標準形と呼ばれるものであるが，一般に

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐｘ＋ｑ

のとき

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝(-1)^(n-1)（ｎ−１）^(n-1)ｐ^n＋ｎ^nｑ^(n-1)

と計算される．

　　ｎ＝３のとき２^2ｐ^3＋３^3ｑ^2，

　　ｎ＝５のとき４^4ｐ^5＋５^5ｑ^4

というわけである．

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