第１種チェビシュフ多項式

　　Ｔ0（ｘ）＝１，Ｔ1（ｘ）＝ｘ，Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2－１，Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3－３ｘ，Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4－８ｘ^2＋１，・・・

また，Ｔn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／２ｎ），ｋ＝１，３，５，・・・，２ｎ－１と表される．

　　Ｔn（ｘ）＝２^n-1Π（ｘ－ｃｏｓ（（２ｋ－１）π／２ｎ））

　　Ｔn’（ｘ）＝２^n-1ｎΠ（ｘ－ｃｏｓ（ｋπ／２ｎ））

　ｓｉｎの場合には番号をひとつずらせて，ｓｉｎ（ｎ＋１）θ／ｓｉｎθを考えると，第２種チェビシュフ多項式

　　Ｕ0（ｘ）＝１，Ｕ1（ｘ）＝２ｘ，Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2－１，Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3－４ｘ，Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4－１２ｘ^2＋１，・・・

また，Ｕn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１）），ｋ＝１，２，３，・・・，ｎと表される．

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【１】チェビシェフ多項式の性質

［１］最良近似

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐ1ｘ^n-1＋・・・＋ｐn

　　Ｌ＝ｍａｘ｜ｆ（ｘ）｜

とおく．そのとき，区間［－１，１］上でＬを最小にするのは

　　ｆ（ｘ）＝Ｔn(x)／２^n-1

ただひとつで，Ｌ＝１／２^n-1が成立する．

［２］漸化式

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）－Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）－Ｕn-2（ｘ）

［３］直交性

　　∫(-1,1)Ｔm(x)Ｔn(x)／（１－ｘ^2）^1/2ｄｘ

　＝０　　　　　（ｍ≠ｎ）

　＝π　　　　　（ｍ＝ｎ＝０）

　＝π／２　　　（ｍ＝ｎ≠０）

［４］母関数

　　Ｔ0(x)＋２ΣＴn(x)ｔ^n＝（－ｔ^2＋１）／（ｔ^2－２ｘｔ＋１）

［５］合成

　　Ｔm(Ｔn(x))＝Ｔmn(x)

［６］多項式近似定理（ワイエルシュトラス）

　閉区間［ａ，ｂ］で連続な関数をｆ（ｘ）とする．このとき

　　｜ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）｜＜ε

を満たす多項式ｇ（ｘ）が常に存在し，それはただひとつである．

［７］微分方程式

　　（１－ｘ^2）Ｔn”（ｘ）＝ｘＴn’（ｘ）－ｎ^2Ｔn（ｘ）

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