ｘ＝ｃｏｓθとおくとき，

　　ｃｏｓｎθ＝Ｔn（ｘ）

　　ｓｉｎｎθ＝Ｔn’（ｘ）ｓｉｎθ／ｎ

　　ｓｉｎ（ｎ＋１）θ／ｓｉｎθ＝Ｕn（ｘ）

　　ｃｏｓｎθ＋ｃｏｓθｓｉｎｎθ／ｓｉｎθ＝Ｕn（ｘ）

　　Ｔn（ｘ）＋ｘＴn’（ｘ）／ｎ＝Ｕn（ｘ）

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【１】ｎ倍角公式とチェビシェフ多項式

　　ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１

　　ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ−１

　　ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ／（１−ｔａｎ^2θ）

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

　　ｔａｎ３θ＝（３ｔａｎθ−ｔａｎ^3θ）／（１−３ｔａｎ^2θ）

　ｔ＝ｔａｎθとおくと，

　　ｔａｎ３θ＝（３ｔ−ｔ^3）／（１−３ｔ）

　　ｔａｎ４θ＝（４ｔ−ｔ^3）／（１−６ｔ^2＋ｔ^4）

　　ｔａｎ５θ＝（５ｔ−１０ｔ^3＋ｔ^5）／（１−１０ｔ^2＋５ｔ^4）

　このように多項式ｐn（ｔ），ｑn（ｔ）を用いて

　　ｔａｎｎθ＝ｑn（ｔ）／ｐn（ｔ）

と表すことができる．それでは，以下の例はどうだろうか？

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　調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞

は容易に示すことができます．

（Ｑ）Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,Ｈ4=25/12,Ｈ5=137/60,･･･である．任意のｎに対して，Ｈn＝Ｆ(n)／Ｇ(n)を満たす多項式Ｆ(n)，Ｇ(n)を求めよ．

（Ａ）存在しない．

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