（ｆ，ｇ）＝∫(-1,1)ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ

を内積と呼び，（ｆ，ｇ）＝０のとき直交するという．

　たとえば，ルジャンドル直交多項式は，母関数（１−２ｘｔ＋ｔ^2）^-1/2をｔのべき級数に展開したとき

　　（１−２ｘｔ＋ｔ^2）^-1/2＝Σφj（ｘ）ｔ^j

のｔ^jの係数がルジャンドル多項式であり，

　　φ0（ｘ）＝１，

　　φ1（ｘ）＝ｘ，

から始めて，

　　φn（１）＝１

という条件を課しておけば，これらは一意に定まり

　　φ2（ｘ）＝（３ｘ^2 −１）／２，

　　φ3（ｘ）＝（５ｘ^3 −３ｘ）／２，

　　φ4（ｘ）＝（３５ｘ^4 −３０ｘ^2 ＋３）／８，

　　φ5（ｘ）＝（６３ｘ^5 −７０ｘ^3 １５ｘ）／８，

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・，

　　φn（ｘ）＝１／（２n ・ｎ！）ｄ^n／ｄｘ^n（ｘ^2 −１）^n

で表わされる．

　これらの多項式は互いに直交する．

　　∫(-1,1)φmφn ｄｘ＝０　　　（ｍ≠ｎ：直交性）

　　（ｎ＋１）φn+1 −（２ｎ＋１）ｘφn ＋ｎφn-1 ＝０　　　（漸化式）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　一般化することを考える．区間［ａ，ｂ］，重み関数ε（ｘ）とする．

　　（ｆ，ｇ）＝∫(a,b)ε（ｘ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ

［１］ａ＝−１，ｂ＝１，ε（ｘ）＝１／（１−x^2）^1/2

とおくと，チェビシェフ多項式，

　　Ｔ0（ｘ）＝１，Ｔ1（ｘ）＝１

　　Ｔn+1（ｘ）＝２ｘＴn（ｘ）−Ｔn-1（ｘ） 　　　（漸化式）

　チェビシェフ多項式は，以下のような母関数表示をもつ．

　　（１−ｔ^2）／（１−２ｘｔ＋ｔ^2）＝１＋２Σφj（ｘ）ｔ^j

　ｘ＝ｃｏｓθとおくとき，

　　ｃｏｓｎθ＝Ｔn（ｘ），

　　ｓｉｎ（ｎ＋１）θ／ｓｉｎθ＝Ｕn（ｘ）

［２］ａ＝−∞，ｂ＝∞，ε（ｘ）＝ｅｘｐ（−ｘ^2）

とおくと，エルミート多項式，

　　Ｈn（ｘ）＝ｎ！Σ（−１）^m（２ｘ）^n-2m／ｍ！（ｎ−２ｍ）！

が得られる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝