1/Sqrt((1-2sx+s^2)＝ΣＰi（ｘ）ｓ^i

　　 1/Sqrt((1-2tx+t^2)＝ΣＰj（ｘ）ｔ^j

　　 1/Sqrt((1-2sx+s^2)(1-2tx +t^2) ＝ΣＰk^2（ｘ）（ｓｔ）^k　　（∵直交性）

　　 ∫(-1,1)1/Sqrt((1-2sx+s^2)(1-2tx +t^2) ｄｘ

＝Σ（ｓｔ）^k∫(-1,1)Ｐk^2（ｘ）ｄｘ

＝Σ２（ｓｔ）^k／（２ｋ＋１）

　　（∵∫(-1,1)Ｐk^2（ｘ）ｄｘ＝２／（２ｋ＋１））

　ここで，

ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２Σｘ^2k+1／（２ｋ＋１）

１／ｘ・ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２Σｘ^2k／（２ｋ＋１）

であるから，

　　 ∫(-1,1)1/Sqrt((1-2sx+s^2)(1-2tx +t^2) ｄｘ

＝1/sqrt(st))log((1+sqrt(st))/(1-sqrt(st)))

を示すことができる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　結局，ルジャンドルの多項式の積の積分

　　∫(-1,1)Ｐi（ｘ）Ｐj（ｘ）ｄｘ＝２／（２ｊ＋１））δij

を使って，エレガントな計算で求められることがわかった．

　　∫(-1,1) 1/Sqrt((a-x)(b-x)) dx

＝ｌｏｇ((a+b-2-2√(a-1)(b-1))/((a+b+2-2√(a+1)(b+1)))

との関係はよくわからない．　　（佐藤郁郎）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝