立方体（ｆ＝６），菱形十二面体（ｆ＝１２），切頂八面体（ｆ＝１４）はよく知られた空間充填立体ですが，空間充填可能な凸ｆ面体すべてを決定することは現在でも未解決になっています．ちなみに現在は４≦ｆ≦３８であるすべてのｎに対し，空間充填可能な凸ｆ面体が存在することが判明しています．

　ｆ＝３８に対しては１９８０年にエンゲルが２つの異なる３８面体の存在を示したのですが，ｆ≧３９に対して空間充填凸ｆ面体が存在するか否かはいまだ不明です．未解決問題というわけですが，ｆ＝３８は２種類あるわけですから，ｆ≧３９に対しても空間充填凸ｆ面体が存在するような気がします．はたしてこの予想は正しいでしょうか？

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【１】空間充填体の分割体

　正三角形が４つの断片に切り分けられていて，ハトメを中心として回転させると正方形に変形するというパズルをご存知でしょうか？　もちろん正三角形と正方形の面積は等しいのですが，このパズルには平面充填形（タイル張り）の理論が潜んでいることに気づけばその切り分け方を見いだすことができます．

　私はこのことをスタインハウス「数学スナップショット」紀伊国屋書店の冒頭で知ったのですが，デュドニーのカンタベリー・パズルと呼ばれているそうです．デュドニーのカンタベリー・パズルは「平面ハトメ返し」による分割合同なのですが，立体の２つの断片のどれかの辺を蝶番でつなぐことによって「立体蝶番返し」を考えることができます．

　菱形十二面体や切頂八面体はよく知られた空間充填立体ですが，実際，菱形十二面体と直方体の間の立体蝶番返し，切頂八面体と直方体の間の立体蝶番返しなど空間充填形同士の蝶番返しやそれ以外の立体蝶番返しが作られています．以下に，中川宏さん作の菱形十二面体や切頂八面体の分割体を掲げておきますが，中川さんのお話ではこれらの分割によってｆ＝４〜１１の空間充填多面体が得られるとのことでした．

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【２】平行多面体による周期的空間充填

　平行多面体による３次元空間の充填を考えると，１種類による周期的充填図形すなわち平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体として，立方体，正六角柱，菱形十二面体，長菱形十二面体，切頂八面体があります．以上の５種類を併せてフェドロフ（ロシアの結晶学者）の平行多面体といいます．６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．

　平行多面体による空間充填は結晶構造と深く関係していて，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類あり，そして，これから決まる本質的なディリクレ領域（ボロノイ領域）は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかないというわけです．

　これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以です．なお，２次元格子は５種類あり，それから決まるディリクレ領域も５種類あります．

［補］平行多面体のうち正多面体と同じ対称性をもつ立体は，プラトン立体では立方体，アルキメデス立体では切頂８面体，大菱形立方８面体，大菱形１２・２０面体，アルキメデス双対では菱形１２面体，菱形３０面体があります．また，これらの平行多面体から得られるねじれ立体には，正方形からは正４面体，切頂８面体からは正２０面体，大菱形立方８面体からはねじれ立方体，大菱形１２・２０面体からはねじれ１２面体があります．

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【３】黄金菱形多面体による非周期的充填

　３次元空間の周期的充填に対して，非周期的充填には５種類の黄金平行多面体によるものが知られています．

　ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，対角線の比が白銀比になっている菱形を１２個組み合わせてできる菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．

　黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．

　これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．

　したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．

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　Ｋ30は１０個ずつのＡ6とＯ6でできるのですが，ところで，２０個のＡ6でできる多面体に「花形十二面体」があります．中川宏さんに木工模型を作っていただいたのですが，桔梗の花に似た凹６０面体であって，中川さんのお話では山頂を結ぶと正１２面体，峠を結ぶと２０・１２面体，谷底を結ぶと正２０面体になっているとのことです．

　すなわち，この多面体は５回対称性を有しているのですが，花弁の中心を通る軸が５回対称軸，尖った頂点を通る軸は３回対称軸，花弁の縁の窪みを通る軸が２回対称軸になっているそうです．「花形十二面体」は小川泰先生がペンローズ格子（３次元版）について研究中に見つけられて，命名された多面体とのことでまさしく「黄金の華」です．

［補］３次元の複合正多面体には５種類あります．２個の正四面体が集まるもの（ケプラーの八角星）を除く，５個の正四面体，１０個の正四面体，５個の立方体，５個の正八面体が集まるものは正２０面体と同じ回転対称性をもっています．５個の立方体よりなる複合正多面体に数種類の多面体を貼り合わせても「花形十二面体」ができます．

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【４】ケルビンの１４面体とウィリアムズの１４面体

　ケルビンの１４面体（α-１４面体）は，３対の合同な四角形の面と４対の合同な６角形の面とで囲まれています．最も簡単な場合は，６個の正方形と８個の正六角形とからなり，すべての辺の長さが等しいものが切頂八面体です．切頂八面体は１６種ある準正多面体（アルキメデス体）のひとつです．

　α-１４面体は，長い間，単一の多面体で空間を隙間なく分割しうる唯一のものと信じられてきました．面を平面にするという条件下にはこれは今日でも通用することです．しかし，その条件を外せば，空間充填１４面体にはもう１種類あることを１９６８年になってウィリアムズが報告しています．これがβ-１４面体ですが，この間，実に１世紀近い年月の隔たりがあります．

　β-１４面体は，８個の合同な五角形と４個の合同な六角形と２個の合同な四角形をもち，それらの面は必ずしも平面である必要はありません．正方形の面は平面にできるのですが，その他の面はいずれも曲面（凸面，凹面，Ｓ字状の湾曲した曲面など）になります．

　便宜のため，α-１４面体とβ-１４面体の主要な幾何学的性質をまとめて表示しておきます．

　　　　　　　　　α-１４面体　　　　　　　　　β-１４面体

面の形と数　　　平面６辺形（８）　　　　　　　曲面５辺形（８）

　　　　　　　　平面平行４辺形（４）　　　　　曲面６辺形（４）

　　　　　　　　平面正方形または矩形（２）　　平面正方形または矩形（２）

稜の形と数　　　直線（３６）　　　　　　　　　曲線（２４）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直線（１２）

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【５】ウィアの１２面体・１４面体

　ケルビンの１４面体は１００年以上もの間，最も効率よく空間を充填する多面体として最善の答でしたが，本当に表面積を最小化する多面体であるのかというと否定的であって，実はこの問題はいまでも未解決問題となっているのです．

　もし，体積が同じで形の異なる２種類の多面体を組み合わせてみたら，ケルビン問題の反例がみつかるのでは・・・．そして，１９９４年，アイルランドの物性物理学者，ウィアは合金構造をヒントにもっと面積が小さくなる解を発見しました．同じ体積の２種類の多面体による空間充填なのですが，不等辺五角形の面をもつ１２面体（５角形１２枚）と１４面体（５角形１２枚と６角形２枚）が１：３の割合で並ぶものです．

　もちろん，この１２面体は正十二面体ではありませんし，１４面体もケルビンの１４面体ではありません．ウィアの空間充填では，ウィリアムズの１４面体の場合と同様に，辺や面には微妙な曲がりが含まれています．また，ウィアの空間充填では，ウィリアムズの１４面体よりも多くの五角形の面をもつという特徴もあげられます．

　そしてこれらの多面体の表面積はケルビンの１４面体よりも０．３％小さいことが判明したのです．曲面の高精度計算がコンピュータでできるようになったことがこの新発見に繋がったのですが，辺や面を微妙に調節することによって空間充填が可能となるのです．

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【６】空間充填における五角形面の利点

　β-１４面体（４^2５^8６^4）では，α-１４面体（４^6６^8）に比較して辺が曲線になったり，面が曲面を含む点で幾何学的性質の単純さは劣りますが，五角形の面をもつという利点があります．

　平面に投射した形を考えてみると，β-１４面体による空間充填は，スケールを大きくとることによって，５角形による平面充填配列に近づいていきます．この５角形とは正五角形ではなく，カイロのタイル貼りと呼ばれる歪んだ５角形によるタイル貼りのことであって，正方形と正三角形によるアルキメデスの平面充填形の双対として得られるものです．

　一方，α-１４面体を平面のタイル張りに還元するには，かなり著しい変形を加えなければなりません．このことは，血管の分岐様式が二分岐になるためのモデルとして，多面体が奇数の辺をもつβ-１４面体のほうが都合がよいことを意味していて，諏訪紀夫先生（故人）はβ-１４面体の存在理由を非常に重要なものと考えておられます．

　β-１４面体のほうが形の上で実際に近いとはいっても，それだけでモデルの優劣を判断するわけにはまいりません．しかし，分割多面体では５角形の面が最も多いのですが，α-１４面体はまったく５角形の面をもちませんから，β-１４面体のほうが空間分割のある側面をよく表していると考えることができます．

　ウィリアムズのβ-１４面体（４^2５^8６^4）は単一の多面体で空間を隙間なく分割しうるのですが，２種類の多面体の組合せであるウィアの１２面体（５角形１２枚：５^12）と１４面体（５角形１２枚と６角形２枚：５^12６^2）の場合も五角形面をもっています．

　また，空間充填多面体として１２面体（５^12）と１６面体（５^12６^4）の２種類の組合せ，１２面体（５^12），１２面体（４^3５^6６^3），２０面体（５^12６^8）の３種類の組合せの知られているようです．

　ともあれウィアの極小曲面が最も境界面積が小さな形になって切るかという問題はまだ解決されていません．「同じ体積の泡が集まっているときに，境界面積が最小となる泡の形は何か？」は，泡の種類を増やせば面積をもっと減らすチャンスがあるのです．それで科学者たちは現在もより効率の良い空間分割法を探索し続けているのです．

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［補］極小曲面と平均曲率一定曲面

　シャボン玉の丸い形や枠に張られた石けん膜の形の面白さは，表面積が最小になろうとする傾向のあらわれですが，石けん膜は「極小曲面（平均曲率が恒等的に０の曲面）」，シャボン玉は「平均曲率一定（≠０）曲面」と呼ばれる数学的曲面となっています．

　（問）互いに平行な２つの円形の枠に石けん膜を張ったとき，その形は？

　（答）カテナリー（極小曲面）

　（問）互いに平行な２つの円盤に石けん膜を張ったとき，その形は？

　（答）アンデュロイド（平均曲率一定曲面）

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