ｎ→∞のとき，

　　（１＋１／ｎ）^(n+1/2)

はｅに収束し，かつ

　　（１＋１／ｎ）^(n+1/2)＞ｅ

となる．

　この不等式の面白いところは，指数関数の引数^(n+1/2)である．この^(n+1/はスターリングの公式にも現れる．

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【１】スターリングの公式

　数列｛ａn｝と｛ｂn｝がともに無限大に発散し，差｛ａn−ｂn｝は無限大に発散するが，比｛ａn／ｂn｝は１に近づくという例に，ｘを越えない素数の個数を与える近似的な公式（素数定理）

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

や階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅ^-n

　　ｎ！〜√（２π）ｎ^(n+1/2)ｅ^-n

　”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｘの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｘを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束する，

　　π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）〜１　　　（ｘ→∞）

　　ｎ！／（√（２πｎ）ｎ^nｅ^-n）〜１　　　（ｎ→∞）

ということです．

　スターリングの公式では，ｎ＝８のとき相対誤差は約１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

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　スターリングの公式を誘導してみましょう．

　　ｌｏｇｎ！＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｎ＝Σｌｏｇｘ

ここで，ｙ＝ｌｏｇｘのグラフを幅が１の長方形に分割していくと，ｘが十分大きければ相対的に和の間隔が小さくなるので，和は積分に置き換えられます．

　　Σｌｏｇｘ≒∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ

ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算されますから，右辺はｘｌｏｇｘ−ｘ＋１となります．したがって，

　　ｎ！≒ｅｎ^nｅ^-n

が得られます．

　　ｌｏｇｎ！＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋ｏ（ｎ）

　　　　　ただし，ｌｉｍｏ（ｎ）／ｎ＝０

としても大体了解されますが，もっと正確に近似すると

　∫(0,n)ｌｏｇｔｄｔ＜ｌｏｇｎ！＜∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ

より

　　ｎｌｏｇｎ−ｎ＜ｌｏｇｎ！＜（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ

したがって，両辺の相加平均に近い（ｎ＋１／２）ｌｏｇｎ−ｎでｌｏｇｎ！を近似できることになり，

　　∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ

　　＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ−１／２ｌｏｇｘ＋δ

であること，また，ウォリスの公式

　　√π〜（ｎ！）2 ２2n／（２ｎ）！√ｎ

より，結局，

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎn ｅ-n

にたどりつきます。

　スターリングの近似公式は階乗の一般化であるガンマ関数の近似値としても使われています．

　　Γ（ｘ＋１）＝∫ｅ^-tｔ^xｄｔ〜√（２πｘ）ｘ^xｅ^-x

近似の程度を進めると

　　Γ（ｘ＋１）〜√（２πｘ）ｘx ｅ-x[1+1/(12x)+1/(288x^2)-139/(51840x^3)-.....}

が得られます．これらの公式ではｘが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

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【２】スターリングの公式の別証

(1) f(x)が2回連続微分可能で、f''(x)>0 (狭義の凸関数）で

　　であるならば、

　　∫(a,b)f(x)dx > (b-a)f((a+b)/2)

(2) ∫(n,n+1) 1/x dx > 1/(n+1/2)

(3)∫1/x dx = log x

より

∫(n,n+1) 1/x dx = log(n+1)-log(n)=log(1+1/n)>1/(n+1/2)

両辺に(n+1/2)をかけると

(n+1/2)log(1+1/n)>1

両辺のexponentialをとると

(1+1/n)^(n+1/2) >e

が成り立つ．

　以上より，

　　ｎｌｏｇｎ−ｎ＜ｌｏｇｎ！＜（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ

は，両辺の相加平均に近い（ｎ＋１／２）ｌｏｇｎ−ｎでｌｏｇｎ！を近似できることになり，

　　∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ

　　＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ−１／２ｌｏｇｘ＋δ

　Stirlingの公式の大体の形は（ｎ！／ｎ^n+1/2・ｅ（−ｎ）がｎ→∞のときに一定の極限値をもつ）はいろいろな方法で導かれますが，その極限値を正しく√（２π）とするにはWallisの公式が不可欠のようです．実際これまでの証明はすべてWallisの公式（ないしそれと同等の結果）を活用しております．

　したがって，これ以降は，ウォリスの公式

　　√π〜（ｎ！）2 ２2n／（２ｎ）！√ｎ

を使うのは問題ありません．これより，結局，

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎn ｅ-n

にたどりつきます。

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【補】ウォリスの公式

（証）　　1/2B(1/2,(n+1)/2)=∫(0,π/2)(sinθ)^ndθ

この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式

　　Ｓn=(n-1)/nＳn-2

が得られるから，

　　n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2

　　n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)

　これより

　　ｌｉｍ1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*√(k)=1/√(π)

変形するとウォリスの公式

　　(2n)!/(2^nn!)^2√(n)=1/√(π)

が得られる．

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