∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘに対する原始関数Ｆ（ｘ）が見つかればまことに好都合であるが，私たちはあらゆる関数の原始関数を知っているわけではない．実際，これまでのところ不定積分が見つかっていない関数があり，それらはこれからも見つかるという希望はかなえられそうにない．

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【１】台形則

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ≒（ｂ−ａ）／２・｛ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）｝

誤差項も含めて書けば

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ＝（ｂ−ａ）／２・｛ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）｝−ｆ”（ξ）・（ｂ−ａ）^3／１２

　　＝ｈ／２・｛ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）｝−ｆ”（ξ）・ｈ^3／１２

となるξ（ａ＜ξ＜ｂ）が存在する．（ｈ＝ｂ−ａ）

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【２】シンプソン則（１／３則）

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ≒（ｂ−ａ）／６・｛ｆ（ａ）＋４ｆ（（ａ＋ｂ）／２）＋ｆ（ｂ）｝

誤差項も含めて書けば

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ＝（ｂ−ａ）／６・｛ｆ（ａ）＋４ｆ（（ａ＋ｂ）／２）＋ｆ（ｂ）｝−ｆ^(4)（ξ）・（ｂ−ａ）^5／２８８０

　　＝ｈ／３・｛ｆ（ａ）＋４ｆ（（ａ＋ｂ）／２）＋ｆ（ｂ）｝−ｆ^(4)（ξ）・ｈ^5／９０

となるξ（ａ＜ξ＜ｂ）が存在する．（ｈ＝（ｂ−ａ）／２）

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【３】中点則

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ≒（ｂ−ａ）ｆ（（ａ＋ｂ）／２）

誤差項も含めて書けば

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ＝（ｂ−ａ）ｆ（（ａ＋ｂ）／２）＋ｆ”（ξ）・（ｂ−ａ）^3／２４

となるξ（ａ＜ξ＜ｂ）が存在する．

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【３】ニュートン・コーツの公式

　以上はニュートン・コーツの公式よ呼ばれる一連の公式に属している．

　　ｈ＝（ｂ−ａ）／ｍ

とおくと，

［１］シンプソン則（３／８則）

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ＝３ｈ／８・｛ｆ（ａ）＋３ｆ（ａ＋ｈ）＋３ｆ（ａ＋２ｈ）ｆ（ｂ）｝−ｆ^(4)（ξ）・３ｈ^5／８０

となるξ（ａ＜ξ＜ｂ）が存在する．（ｈ＝（ｂ−ａ）／３）

［２］ブール則

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ＝２ｈ／４５・｛７ｆ（ａ）＋３２ｆ（ａ＋ｈ）＋１２ｆ（ａ＋２ｈ）＋３２ｆ（ａ＋３ｈ）＋７ｆ（ｂ）｝−ｆ^(6)（ξ）・８ｈ^7／９４５

となるξ（ａ＜ξ＜ｂ）が存在する．（ｈ＝（ｂ−ａ）／４）

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