Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義します．（ｎ＞１ならばＨn は整数にはなりません．）

　ｎを無限大にしたとき，調和級数

　　Ｈ∞＝　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

は発散しますが，そのｎ次部分和Ｈnは離散的な世界で連続関数ｌｎｎに対応するものであり，自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できます．

　　ｌｏｇｘ＝∫ｄｔ／ｔ

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【１】矩形公式

　したがって，双曲線ｙ＝１／ｘを上と下から棒グラフではさんで近似することにより，ｌｏｇｎとｌｏｇｎ＋１の間に押し込まれまれることがわかります．

　これが矩形公式であり，

　　Ｈn＜ｌｏｇｘ＝∫ｄｔ／ｔ＜Ｈn+1

のような形になります．

　したがって，Ｈn とｌｏｇｎの比｛Ｈn ／ｌｏｇｎ｝は

　　　Ｈn ／ｌｏｇｎ→１　　　（ｎ→∞）

です．

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【２】台形公式

　台形公式より，［ａ−ｘ，ａ＋ｘ］に対して，

　　２ｘ／ａ＜∫ｄｔ／ｔ＜ｘ（１／（ａ＋ｘ）＋１／（ａ＋ｘ））

［１］ａ＝５／４，ｘ＝１／５→２／５＜∫(1,3/2)ｄｔ／ｔ＜５／１２

［２］ａ＝７／４，ｘ＝１／５→２／７＜∫(3/2,2)ｄｔ／ｔ＜７／２４

　これより

　　２４／３５＜ｌｏｇ２＝∫(1,2)ｄｔ／ｔ＜１７／２４

　　０．６８５＜ｌｏｇ２＜０．７０８

と絞り込むことができます．

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