普段使っている三角定規には２種類ある．辺の長さの比１：１：√２と１：√３：２であるが，角度は３０°，４５°，６０°と何かと都合がよい．それに対して，ピタゴラス三角形は辺の長さは整数であるが，角度は簡単にはならない．

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【１】θ／πは無理数である

　ピタゴラス三角形のひとつの鋭角をθをする．θ／πは無理数である．

（証）

　　ａ＝（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝（ｍ^2＋ｎ^2）

θ／πが有理数だとして矛盾を導くことにするが，回転行列Ｒは

　　Ｒ＝［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］＝［ａ／ｃ，−ｂ／ｃ］

　　　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］　［ｂ／ｃ，　ａ／ｃ］

　点Ｐ＝（ｃ^n，０）とおいて，次のｎ点

　　Ｐ，ρ（Ｐ），ρ^2（Ｐ），・・・，ρ^n-1（Ｐ）

を考えると，これらはすべて異なる格子点である．ところが，Ｚ^2で格子正ｎ角形は正方形に限る．θ＜π／２であるから，これは不可能である．

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【２】ピタゴラス三角形の角度

　以前，

［Ｑ］ｅ^eに最も近い整数を求めよ

［Ａ］ｅ^e＝１５．１５４２・・・

について考えてみた際，ａ＝２またはａ＝３として，テイラー展開

　　ｅｘｐ（ｘ）＝ｅｘｐ（ａ）｛１＋（ｘ−ａ）＋（ｘ−ａ）^2／２＋（ｘ−ａ）^3／６＋・・・｝

の誤差項Ｒを１未満に抑えることを考える．

　　Ｒ＜ｅｘｐ（ａ）／ｎ！＜１

　　ｎ！＞ｅｘｐ（ａ）

より，４次近似

　　ｅｘｐ（ｘ）＝ｅｘｐ（ａ）｛１＋（ｘ−ａ）＋（ｘ−ａ）^2／２＋（ｘ−ａ）^3／６＋（ｘ−ａ）^4／２４｝

を採用した．

［１］ｘ＝２．７，ａ＝２　→　１４．８６８

［２］ｘ＝２．７，ａ＝３　→　１４．８８０１

［３］ｘ＝２．８，ａ＝２　→　１６．４２１４

［４］ｘ＝２．８，ａ＝３　→　１６．４４４７

　よって，

［Ｑ］ｅ^eに最も近い整数を求めよ

［Ａ］１５

　これと類似の方法でピタゴラス三角形（３，４，５）の内角のうち最小のものを求めてみたい．

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　　１−ｘ^2／２＜ｃｏｓｘ＜１−ｘ^2／２＋ｘ^4／２４

ｃｏｓｘ＝３／５とし，ｘ^2について解くと

　　２／５＜ｘ^2＜（３０−２√１９５）／５

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