（その５）のシュタイナーの平行軸定理は質点系の重心の関する定理であるが，数学的にはスチュアートの定理そのものでもある．

　この定理は物理学の問題や確率論の問題に応用されている．たとえば，ベクトルｐkを位置ベクトルとみれば慣性モーメントの問題となるし，速度ベクトルとみれば運動エネルギーの問題に転化する．全分散を群間分散と群内分散に分解すると考えれば「分散分析」の問題となるのである．

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　多角形の各頂点に重みｗkを設ける．たとえば三角形の場合，重心は

　　ＯＧ↑＝（ｗ1ＯＡ↑＋ｗ2ＯＢ↑＋ｗ3ＯＣ↑）／（ｗ1＋ｗ2＋ｗ3）矢

　ここで，始点をＯからＰに変えても

　　ＰＧ↑＝（ｗ1ＰＡ↑＋ｗ2ＰＢ↑＋ｗ3ＰＣ↑）／（ｗ1＋ｗ2＋ｗ3）

となって，重心の位置は座標や原点の取り方に依存しないことがわかる．また，始点をＧに変えると，

　　ｗ1ＧＡ↑＋ｗ2ＧＢ↑＋ｗ3ＧＣ↑＝０↑

となる．

　ここでは１次モーメントを考えたが，２次モーメントについては，

　　ｗ1｜ＯＡ↑｜^2＋ｗ2｜ＯＢ↑｜^2＋ｗ3｜ＯＣ↑｜^2

　＝ｗ1｜ＯＧ↑＋ＧＡ↑｜^2＋ｗ2｜ＯＧ↑＋ＧＢ↑｜^2＋ｗ3｜ＯＧ↑＋ＧＣ↑｜^2

　＝（ｗ1＋ｗ2＋ｗ3）｜ＯＧ↑１^2＋２ＯＧ↑・（ｗ1ＧＡ↑＋ｗ2ＧＢ↑＋ｗ3ＧＣ↑）＋ｗ1｜ＧＡ↑１^2＋ｗ2｜ＧＢ↑１^2＋ｗ3｜ＧＣ↑１^2

　ここで，

　　ｗ1ＧＡ↑＋ｗ2ＧＢ↑＋ｗ3ＧＣ↑＝０↑

より，

　　ｗ1｜ＯＡ↑｜^2＋ｗ2｜ＯＢ↑｜^2＋ｗ3｜ＯＣ↑｜^2

　＝（ｗ1＋ｗ2＋ｗ3）｜ＯＧ↑１^2＋ｗ1｜ＧＡ↑１^2＋ｗ2｜ＧＢ↑１^2＋ｗ3｜ＧＣ↑１^2

すなわち，点Ｏに関する２次モーメントの和は，点Ｏに関する重心Ｇの２次モーメントと重心Ｇに関する２次モーメントの和に等しいというのがシュタイナーの定理である．

　これは数学的にはスチュアートの定理そのものでもある．

　　ｎ｜ＡＢ↑｜^2＋ｍ｜ＡＣ↑｜^2＝ｎ｜ＧＢ↑｜^2＋ｍ｜ＧＣ↑｜^2＋（ｍ＋ｎ）｜ＧＡ↑｜^2

物理的には

１次モーメント＝運動量保存の法則

２次モーメント＝角運動量保存の法則（あるいはエネルギー保存の法則）

に相当する．

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