正多角形の対称性から，正多角形の重心は外接円の中心に等しい．これまで長さの平方の合計，長さの合計を扱ってきたが，座標そのものを用いるのではなく，ベクトルを用いることで計算を簡単にすることができた．

　　ｐ1＋ｐ2＋・・・＋ｐv＝０

　また，この議論は物理的に解釈することもできて，平方和

　　Ｑ＝（ｐ1−ｐ1）・（ｐ1−ｐ1）＋（ｐ2−ｐ1）・（ｐ2−ｐ1）＋・・・＋（ｐv−ｐ1）・（ｐv−ｐ1）

はｐ1のまわりの慣性モーメントである．それをシュタイナーの平行軸定理（Steiner's parallel-axis theorem）を使って回転点を重心に移すことができる．

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【１】シュタイナーの平行軸定理

　多面体の頂点ベクトルをｐ1，・・・，ｐv，重心ベクトルを

　　ｃ＝（ｐ1＋・・・＋ｐv）／ｖ

任意の点をｚとすると

　　Σ｜ｐk−ｚ｜^2＝Σ｜ｐk−ｃ｜^2＋ｖ｜ｃ−ｚ｜^2

が成り立つ．

　もっと一般的には，各頂点に重みｗkを設けて，

　　Ｗ＝Σｗk，Σｗkｐk＝Ｗｃ

とおくと

　　Σｗk｜ｐk−ｚ｜^2＝Σｗk｜ｐk−ｃ｜^2＋Ｗ｜ｃ−ｚ｜^2

が成り立つ．

　ｗk＝１のときが

　　Σ｜ｐk−ｚ｜^2＝Σ｜ｐk−ｃ｜^2＋ｖ｜ｃ−ｚ｜^2

である．

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【２】パップスの定理

　△ＡＢＣの辺ＢＣ（長さａ）上に中点Ｄ（ＡＤ＝ｄ）がある．

　　ＢＤ＝ａ／２，ＤＣ＝ａ／２

このとき，

　　ｂ^2＋ｃ^2＝ａ^2／２＋２ｄ^2

となる．

［補］この定理は中線定理，アポロニウスの定理とも呼ばれている．

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【３】スチュアートの定理（１７３０年代）

　△ＡＢＣの辺ＢＣ（長さａ）上に点Ｄ（ＡＤ＝ｄ）がある．

　　ＢＤ＝ｍ，ＤＣ＝ｎ，ａ＝ｍ＋ｎ

このとき，

　　ｂ^2ｍ＋ｃ^2ｎ＝ａ（ｄ^2＋ｍｎ）

となる．

　スチュワートの定理はパップスの定理の拡張（ｍ＝ｎ＝１の場合）となっている．シュタイナーの平行軸定理は質点系の重心の関する定理であるが，スチュアートの定理そのものでもある．

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