前回のコラムでは１次式，２次式の素因数について取り上げましたが，さらにある種の３次式，４次式，・・・も同じような法則に従うことがわかっています（３次剰余の相互法則，４次剰余の相互法則，・・・，高次剰余の相互法則）．
これらについては
［参］平松豊一「数論を学ぶ人のための相互法則入門」牧野書店
に詳しく書かれています．今回のコラムではこの本ににしたがって保型形式との関連について眺めていくことにします．
保型形式が最初に現れたのは，１７５０年のオイラーによる五角数定理
Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2)) m(3m-1)/2は五角数
ですが，これを３乗した形の展開結果はかなり簡単になり，ヤコビの公式（１８２９年）
Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2) (m^2+m)/2は三角数
が得られます．
これらはヤコビの３重積公式
Σｑ^(m^2)ｚ^m＝Π（１−ｑ^2n）（１＋ｚｑ^(2n-1)）（１−ｚｑ^(2n-1)）
の特別な場合になっていて，オイラーの五角数定理はヤコビの三重積公式を使うと簡単に証明できます．（現在，五角数定理にはヤコビの三重積公式による証明やフランクリンによる組合せ的証明があります．）
ヤコビの公式を経て，数論はラマヌジャンの保型形式論の時代（２４乗の場合）に突入します．これからの話を円滑に進めるためにも，まずは保型形式から始めることにしましょう．
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【１】重さ１２の保型形式
数列
１，２，３，５，７，１１，１５，２２，３０，４２，５６，７７，１０１，１３６，１７６，・・・
がどのような規則に基づいて作られているのか答えられる人はよほどの数学好きでしょう．これは「分割数」数列です．分割数とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのか（4=1+1+1+1,4=3+1）という整数の分割理論のことです．整数の分割では，3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします．たとえば，４を分割するには非増加数列で構成した５通りの方法，4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1がありますから，p(4)=5．同様にして，5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1よりp(5)=7となります．
整数の分割問題は，現在では，統計力学（Maxwell-Boltzmann統計，Bose-Einstein統計，Fermi-Dirac統計）など様々な分野で実際的な問題を解決するのに用いられています．（分割を図形的に表す方法にヤング図形がある．ヤング図形は非増加な非負整数列を表現する印象的な方法である．）
p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,
p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･
ここで，p(n)はオイラーの分割関数とも呼ばれますが，定義が簡単そうにみえるにも関わらず，一般項を求める式を易しい式で表すことはできません．
p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法による漸近近似式：
p(n) 〜 1/4n√(3)exp(π√(2n/3))
が与えられています．
q(n)=1/4n√(3)exp(π√(2n/3))
とおいて最も近い整数を求めてみると，
q(1)=2,q(2)=3,q(3)=4,q(4)=6,q(5)=9,q(6)=13,
q(7)=18,q(8)=26,q(9)=35,q(10)=48,q(11)=65,q(12)=87,･･･
となってそれほどよい評価式には思えませんが，漸近近似式はｎがどんどん大きくなるとき０に近づくような誤差項を含んだ公式であって，p(n)は整数なので，この公式を使えばp(n)の値を正確に計算できるようになります．
その後，分割関数はラーデマッハーによって修正され，完全な明示公式
p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}
λn=√(n-1/24)，Ak(n)には１の２４乗根が関係する
が与えられました（１９３７年）．πや√2，微分や虚数が登場するこの公式を見た所で，一体どこからこんなものが出てきたのか想像だにできません．
分割関数の母関数は本質的に保型形式を与えるというわけで，ラーデマッハーはその保型性から明示公式にたどりついたのですが，ハーディーとラマヌジャンはその第一近似式を得たことになります．このことに関して，セルバーグは，ハーディーとラマヌジャンが明示公式までたどりつけなかった原因はハーディーがラマヌジャンを十分に理解できなかったことによると興味深いコメントを述べています．
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オイラー数（オイラーの分割数）
f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)
=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･
すなわち，Π(1-x^n)^(-1)は分割数p(n)の母関数なのですが，それと同様にして，ラマヌジャン数が定義できます．
f(x)=xΠ(1-x^n)^24=x{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)･･･}^24
=Στ(n)x^n=τ(1)x+τ(2)x^2+τ(3)x^3+･･･
ラマヌジャンは，デデキントのイータ関数（重さ1/2をもつモジュラー関数），
η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)
とおくと
Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n
ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)
を考え，そのフーリエ係数τ(n)を計算しました．
τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,
τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,
τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･
無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式
Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)
と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式を拡張した２４乗版と考えられます．
ラマヌジャン数は，オイラーの分割数のアナローグであり，
(1)ｍとｎが素ならば，τ(m)τ(n)＝τ(mn)
τ(2)*τ(3)=-6048=τ(6)，τ(2)*τ(5)=-115920=τ(10)
τ(3)*τ(4)=-370944=τ(12)，τ(2)*τ(9)=2727432=τ(18)
τ(4)*τ(5)=-7109760=τ(20)，τ(3)*τ(7)=-4219488=τ(21)
(2)τ(p^(n+1))-τ(p^n)τ(p)=-p^11τ(p^(n-1))
(3)τ(n)＝σ11(n)（ｎの約数の１１乗の総和） （ｍｏｄ ６９１）
など驚くような性質をもっています．
このようにフーリエ係数がｎに関して乗法的性質をもつ保型形式は，ヘッケ固有形式と呼ばれるものです．また，ラマヌジャンは保型形式を用いて，
Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504
Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π
Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240
Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)
を証明しています．ここで，πとωはそれぞれ，
π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）
ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）
です．
これらの等式は，積分表示
ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx
の離散化ともみることができますが，この式はコラム「プランク分布と量子化の概念」で紹介したプランク分布（Bose-Einstein統計）そのものです．
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また，ラマヌジャンはラマヌジャン数のゼータについて考え，ある予想をたてました．ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，
Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s) （タウ・ディリクレ級数）
とおくと（オイラー積のアナローグ）
Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)
が成り立つことを予想したのです（１９１６年）．
ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．
また，τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想（ハッセの定理のアナローグ），
｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)
が証明されています．ラマヌジャン予想はギリギリの予想であって，たとえばｐの指数を１１／２＝５．５からちょっと小さくして５．４９９としたとすると，｜τ(p)｜＜２ｐ^5.499とはならない素数ｐが存在するのです．
なお，佐藤予想のもとで
τ(p)＝２ｐ^(11/2)ｃｏｓθp
とおくと，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角θpが［ａ，ｂ］となる素数密度は
2/π∫(a,b)sin^2θdθ
で与えられるだろうという予想がたてられています（セール，１９６８年）．
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【２】重さ２の保型形式とラマヌジャン予想
デデキントのイータ関数，
η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)
において，関数
F(z)=η(z)^2η(11z)^2
=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7+･･･
=b(n)q^n,q=exp(2πiz)
を考えます．b(n)はF(z)のフーリエ係数です．
F(z)は，
ad-bc=1,c=0(mod 11)
なる任意の整数a,b,c,dに対して
F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)
を満たします．このとき，F(z)は重さ２の保型形式をもつといいます．
また，F(z)のフーリエ係数b(n)を使って，ディリクレ級数
φ(s)=Σb(n)/n^s
を定義します．ディリクレ級数はリーマンのゼータ関数
ζ(s)=Σ1/n^s
を一般化したものです．
ラマヌジャンは，このとき，
L(s;Ｅ)=φ(s)
を予想しています．この予想は，１９５４年，アイヒラーが導手１１の楕円曲線：ｙ^2−ｙ＝ｘ^3−ｘ^2のゼータ関数と保型形式：F(z)=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2のゼータ関数が，すべての素数に対して一致することを示すことによって解決されました（アイヒラー・井草）．
アイヒラーが示したラマヌジャン予想「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」は，ゼータの統一の先駆けであったのですが，これは谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）の特別な場合であって，「Ｑ上の任意の楕円曲線のＬ級数は重さ２の保型形式のヘッケＬ級数に等しい」という谷山予想は最近ワイルズらによって解かれました．
すなわち，ラマヌジャン予想・谷山予想は，ワイルズのフェルマー予想の証明（１９９５年）に至る大きなステップであって，２０世紀の数論の原動力として重要な役割を果たしたといえるのです．また，オイラーの五角数定理は，左辺がイータ関数，右辺がテータ関数と呼ばれる保型形式の原型を与えていたので，１９世紀には，
デデキントのイータ関数＝ヤコビのテータ関数
すなわち，保型形式の間の等式と捉えられるようになりました．
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【３】重さ０の保型形式とムーンシャイン予想
ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数
Ｅk＝１／２Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k
ｍ，ｎは互いに素，ｋは整数４，６，８，・・・（４以上の偶数）
です．すなわち，アイゼンシュタイン級数は変換公式
Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)
ｃ，ｄは互いに素
を満たすというわけです．
保型性の定義から
Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)
Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)
はすぐわかりますが，前者は周期性，後者は双対性と理解することができます．
Ｅk(z+1)＝Ｅk(z) （周期性）
Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z) （双対性）
この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むので，任意の保型形式はq=exp(2πiz)とするフーリエ展開のもち，
Ｅ4(z)＝１＋２４０Σσ3(n)ｑ^n
Ｅ6(z)＝１−５０４Σσ5(n)ｑ^n
Ｅ8(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ｑ^n
・・・・・・・・・・・・・・・・
σk(n)はｎの正の約数のｋ乗和
ベルヌーイ数を用いると
Ｅk(z)＝１−２ｋ／ＢkΣσk-1(n)ｑ^n
また，ζ(1-k)＝−Ｂk／ｋにより
Ｅk(z)＝１−２／ζ(1-k)Σσk-1(n)ｑ^n
とも表されます．これらはすべてのσk(n)を教えてくれる母関数であり，それが保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以です．
アイゼンシュタイン級数を用いると
Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24
＝q-24q^2+252q^3-1472q^4+5483q^5+･･･
は
Δ(z)＝1/1732(E4(z)^3-E6(z)^2)
と表されます．
１９世紀の後半，デデキントとクラインは独立に重さ０の保型関数
ｊ（ａｚ＋ｂ／ｃｚ＋ｄ）＝ｊ（ｚ）
を構成しました．ｊ（ｚ）は最も簡単でよく知られているＳＬ（２，Ｚ）不変な保型関数で，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）とおくと，
j(z)=E4(z)^3/Δ(z)
＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋・・・
と展開されます．
ところで，１９７３年，イギリスのケンブリッジ大学で誕生し，コンウェイによりモンスターと命名・愛称された散在型有限単純群モンスターを線形群の中に埋め込むとすると，最低でも１９６８８３次の行列ＧＬ（１９６８８３，Ｒ）が必要になります．
このモンスターの既約表現の次数ｄnと係数ｃnを小さい方から数個あげると
ｄ0＝１
ｄ1＝１９６８８３ ｃ1＝１９６８８４
ｄ2＝２１２９６８７６ ｃ2＝２１４９３７６０
ｄ3＝８４２６０９３２６ ｃ3＝８６４２９９９７０
となるのですが，ｊ関数のｑ展開に現れる係数１９６８８４とモンスター群の既約表現の最小次数１９６８８３がほとんど等しいことに注目すると，ｑ，ｑ^2，ｑ^3等の係数は
ｃ1＝ｄ0＋ｄ1
ｃ2＝ｄ0＋ｄ1＋ｄ2
ｃ3＝２ｄ0＋２ｄ1＋ｄ2＋ｄ3
のようにモンスターの既約表現の簡単な線形結合となっていることを見いだされました．これは単なる偶然の一致なのでしょうか？
ムーンシャイン予想の出発点の出発点であるマッカイ・トンプソン予想，コンウェイ・ノートン予想には，このような不思議な事実がたくさん収集されています．しかし，後にボーチャーズが，現代物理学の弦理論にその原点をもつヴィラソロ代数（頂点作用素代数）を用いることによって，これは単なる偶然の一致ではなく，そこに何か真実が隠されていることをつきとめます．
ボーチャーズはその功績によりフィールズ賞を受賞するのですが，さらに，ボーチャーズは一般化されたカッツ・ムーディー・リー代数を導入して，マクドナルド恒等式を導いた論法を適用することにより，分母公式は
Ｊ（ｐ）−Ｊ（ｑ）＝ｐ^(ｰ1)Π（１−ｐ^mｑ^n）^c(mn)
となることを示しました．この等式は１９世紀のデデキントのイータ関数の変形のようでもあり，ヤコビの３重積公式
Σｑ^(m^2)ｙ^m＝Π（１−ｑ^2n）（１＋ｙｑ^(2n-1)）（１−ｙｑ^(2n-1)）
にも結びついています．
これにより，ムーンシャイン予想の一応の解決となったわけですが，ムーンシャイン予想は保型関数論のように古典的なものでもあり，また，物理学の弦理論のように新しいものでもあったというわけです．
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【４】３次の世界（重さ１の保型形式）
唐突ですが，３次式ｘ^3−２の素因数分解
ｆ（２）＝２・３，ｆ（３）＝５^2，ｆ（４）＝２・３１，
ｆ（５）＝３・４１，ｆ（６）＝２・１０７，ｆ（７）＝１１・３１，
ｆ（８）＝２・３・５・１７，ｆ（９）＝７２７，
ｆ（１０）＝２・４９９，ｆ（１１）＝３・４４３，
ｆ（１２）＝２・８６３，ｆ（１３）＝５・４３９，
ｆ（１４）＝２・３・４５７，ｆ（１５）＝３３７３，
ｆ（１６）＝２・２３・８９
とデデキントのイータ関数（重さ1/2をもつモジュラー関数）を
η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)
とおいたときの無限積
F(z)=η(6z)η(18z)
=qΠ(1-q^6n)^2(1-q^18n)^2=q-q^7-q^13+q^25+2q^31-q^37+2q^43-q^61-q^67-q^73-q^79+q^81-q^97-q^103-2q^109+q^121+2q^127+q^133-q^139-q^151+2q^157-q^163-q^175-q^181-q^193-q^199-q^211+･･･
=Σa(n)q^n,q=exp(2πiz)
の関係についてみてみましょう．a(n)はF(z)のフーリエ係数です．
F(z)=η(6z)η(18z)=Σa(n)q^n,q=exp(2πiz)
は重さ１の保型形式の１つになっていて，オイラーの五角数定理を使うと
η(6z)η(18z)=Σ(-1)^(m+n)q^{(6m+1)^2+3(6n+1)^2}/4=Σa(n)q^n
これより，
a(p)=0 ・・・ｐ＝２（ｍｏｄ３）
a(p)=2 ・・・ｐ＝１（ｍｏｄ３），ｐ＝ｘ^2＋２７ｙ^2
a(p)=-1・・・ｐ＝１（ｍｏｄ３），ｐ≠ｘ^2＋２７ｙ^2
が得られます．このことから，ｐ＝３を除いてフーリエ係数が０になるのはｐ＝３ｎ＋２型素数，フーリエ係数が２になるのはｐ＝３ｎ＋１型素数に限られることがわかります．
ここで（すべてのフーリエ係数a(n)を眺めるのではなく）０と２の項だけを注目します．するとｑ^pの指数ｐで１００以下のものだけをあげますが，
２，３，５，１１，１７，２３，２９，３１，４１，４３，４７，５３，５９，７１，８３，８９
となっています．これらはすべてｘ^3−２の素因数になっているのですが，実際，両者は完全に一致するのです．
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【５】有限体上の楕円曲線とＬ関数
まず，整数を法ｐで考えた有限体Ｆpの上の３次方程式の群の位数について考察します．係数をＦpにもつ３次方程式
ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）
を考えて，非特異であるための必要十分条件は，ｐ≠２，かつ，Ｆpの元として（ｍｏｄ ｐで）
２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０
です．
一般論に進む前に，具体例を掲げておきましょう．たとえば，整数ａに対して，
ｘ^2＝ａ ｍｏｄｐ
となる整数ｘが存在するかどうかを考えると
Ｚ／ｐＺ＝Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝
について代入してみればいいわけで，ｐ＝５の場合，
０^2＝０，１^2＝１，２^2＝４，３^2＝９＝４，４^2＝１６＝１
ですから，ａ＝１，４（ｍｏｄ５）のときは平方剰余，ａ＝２，３（ｍｏｄ５）のときは平方非剰余，すなわち，
（１／５）＝（４／５）＝１，（２／５）＝（３／５）＝−１
となります．
したがって，有限体Ｆ5上の非特異３次曲線
ｙ^2＝ｘ^3＋ｘ＋１＝ｆ（ｘ）
について，
ｆ（０）＝１（平方剰余） → ｙ＝±１
ｆ（１）＝３（平方非剰余）
ｆ（２）＝１１＝１（平方剰余） → ｙ＝±１
ｆ（３）＝３１＝１（平方剰余） → ｙ＝±１
ｆ（４）＝６９＝４（平方剰余） → ｙ＝±２
ですから，無限遠点を含めて９つの点が見つかります．可換群の構造が入るのは，有限体Ｆpにおいても同様で，この場合，位数９の可換群となります．
一般のＦpについて，Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝を方程式：ｙ^2＝ｆ（ｘ）に代入してみましょう．すると
(1)ｆ（ｘ）＝０なら１つだけの解ｙ＝０がある．
(2)ｆ（ｘ）≠０ならｆ（ｘ）のとり得る０でない値の半分に対して，ｙとして２つの解がある．したがって，
Ｃ：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）
の有限体Ｆpにおける群の位数（元の個数）＃Ｅ（Ｆp）は，ｆ（ｘ）の値が平方と非平方に均等に分布していれば，およそｐ＋１個の点が期待できます．
よって，解の個数は，
＃Ｅ（Ｆp）＝ｐ＋１＋（誤差項）＝ｐ＋１＋Ｍp
の形になることがわかります．
c(p)＝−Ｍp
で定義することにしますが，次の関数
L(s;Ｅ)=Π(1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s))^(-1)
を楕円曲線ＥのＬ関数といいます．
この積Πは１１以外のすべての素数をわたるのですが，素数をまとめあげたものを「ゼータ」と呼ぶことにすると，２次のゼータになっていることがわかります．すなわち，歴史上最初のゼータであるオイラー積
ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)
は積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，Ｌ関数では，ｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しているのです．
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【６】３次の世界（重さ２の保型形式）
ここでは，４ｘ^3−４ｘ^2＋１の場合についてみてみます．前述の導手１１の楕円曲線：ｙ^2−ｙ＝ｘ^3−ｘ^2を変形すると
（２ｙ−１）^2＝４ｘ^3−４ｘ^2＋１
より，楕円曲線：ｙ^2＝４ｘ^3−４ｘ^2＋１が得られます．
また，前述したように
F(z)=η(z)^2η(11z)^2=Σb(n)q^n,q=exp(2πiz)
とおくと
η(z)^2η(11z)^2=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
=qΠ(1-q^2n)(1-q^22n) (mod2)
は重さ２の保型形式になっています．
オイラーの五角数定理より
η(z)^2η(11z)^2=Σ(-1)^(u+v)q^{(6u+1)^2+11(6v+1)^2}/12
=Σq{(6u+1)^2+11(6v+1)^2}/12
=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7+･･･=Σb(n)q^n
これより
b(p)=0（ｍｏｄ２）・・・（−１１／ｐ）＝−１
b(p)=0（ｍｏｄ２）・・・（−１１／ｐ）＝１かつｐ＝ｘ^2＋１１ｙ^2
b(p)=1（ｍｏｄ２）・・・（−１１／ｐ）＝１かつ３ｐ＝ｘ^2＋１１ｙ^2
が得られます．ここで１１は導手と関係しています．
ここで，導手１１の楕円曲線：ｙ^2＝４ｘ^3−４ｘ^2＋１を２次元射影平面Ｐ^2（Ｆp）内で考えます．そして，F(z)のフーリエ係数b(n)を使って，ディリクレ級数
φ(s)=Σb(n)/n^s
を定義します．
ラマヌジャンは，このとき，オイラー積のアナローグであるＬ関数について
L(s;Ｅ)=Π(1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s))^(-1)=φ(s)
を予想しています．ここで積は１１以外のすべての素数をわたるものとします．この予想は，１９５４年，アイヒラーが楕円曲線のゼータ関数と保型形式：F(z)=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2のゼータ関数が，すべての素数に対して一致することを示すことによって解決されました（アイヒラー・井草）．これは谷山予想の特別な場合になっています．
なお，
(1)ｍとｎが素ならば，b(m)b(n)＝b(mn)
(2)b(p)=p+1 (mod5),p≠5
(3)b(n)=τ(n) (mod11)
1-q^11n=(1-q^n)^11 (mod11)
(4)｜b(p)｜＜２ｐ^(1/2) （ハッセの定理）
また，同じ問題を
F(z)=η(2z)η(22z)=qΠ(1-q^2n)(1-q^22n)
=Σ(-1)^(u+v)q^{(3u^2+u)^2+11(3v^2+v)}=Σc(n)q^n
から眺めることもできるようです．その場合，
c(p)=0 ・・・（−１１／ｐ）＝−１
c(p)=2 ・・・（−１１／ｐ）＝１かつｐ＝ｘ^2＋１１ｙ^2
c(p)=-1・・・（−１１／ｐ）＝１かつ３ｐ＝ｘ^2＋１１ｙ^2
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【７】４次の世界
ｘ^4−２ｘ^2＋２の場合は複雑なので結果だけを示しておきます．
F(z)=η(8z)η(16z)
=Σ(-1)^(u+v)q^{(4u+1)^2+16v^2
=Σd(n)q^n,q=exp(2πiz)
とおくと
d(p^n)=e^n･(-1)^(p^n-1)/2･(n+1),e=2^(n-1)/2 (mod2)･･･p=1 (mod8)
d(p^2n)=(-1)^n･･･p=3 (mod8)
d(p^2n)=1･･･p=5,7 (mod8)
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