【１】多重比較とシェフェ数

　３群以上で多重比較を行うとき，次の場合を区別しておく必要があります．

　　(1)あらかじめ決めておいた特定の１対に限定して比較する（フィッシャー法）

　　(2)対照群と他群を対にして比較する（ダネット法）

　　(3)２群を対にして，すべての対について比較する（チューキー法）

　　(4)２群の比較ばかりでなく，任意の群を合併したものを含め，すべての対比を行う（シェフェ法）

　たとえば，５群の平均値μ1,μ2,μ3,μ4,μ5の比較を考える場合，μ3-μ4のような１対１の対比（対比較）のみならず，(μ1+μ2+μ3)/3-(μ4+μ5)/2のような３対２の対比が必要になることもあります．すなわち，多重比較には対比較と線形比較の２種類の方法があり，対比較にはフィッシャー法（特定の比較），ダネット法（基準との比較），チューキー法（あらゆる対の比較）などがあり，線形比較のための検定法として，シェフェ法（あらゆる比較）があります．

　すべての対比というと(μ1+3μ3+μ5)-(0.5μ2+4.5μ4)のような意味付け不明のものまで無限に含まれるので，ここでは実際面からいって意味のある対比に絞ってその組み合わせをすべて数えあげてみます．ｇ群の多重比較の場合，対比する組合せ数を求めると，フィッシャー法で１，ダネット法でｇ−１，チューキー法で，nC2=g(g-1)/2，シェフェ法では(3^g+1)/2-2^g 通りになります．チューキー数は多項式関数的に増加しますが，シェフェ数は意味付け可能な組合せだけでも，指数関数的に増加することが理解されます．

多重比較　　　　　 ３群　　　４群　　　５群　　　６群　　ｇ群

フィッシャー数　　　1　　　　1　　　　　1　　　　1　　　　1

ダネット数　　　　　2　　　　3　　　　　4　　　　5　　　　g-1

チューキー数　　　　3　　　　6　　　　 10　　　 15　　　g(g-1)/2

シェフェ数　　　　　6　　　 25　　　　 90　　　301　 (3^g+2^(g+1)+1)/2

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【２】第２種スターリング数

　シェフェ数はｎ個の数字を３つのグループＡ，Ｂ，Ｃに分ける方法の総数で，ただし，Ａ，Ｂは少なくとも１つの数字を含むものとしたものですが，ここでは，ｎ個の数字を３つのグループＡ，Ｂ，Ｃに分ける方法の総数で，ただし，各グループＡ，Ｂ，Ｃは少なくとも１つの数字を含むものとします．

　もっと一般に，１≦ｋ≦ｎとし，ｎ個の数字をｋ個のグループに分ける方法の総数で，ただし，各グループは少なくとも１つの数字を含むものの数をnＳkとします．

　nＳkは第２種スターリング数と呼ばれるもので，漸化式

　　n+1Ｓk＝nＳk-1＋ｋnＳk

が成り立ちます．

　nＳ1＝１を出発点として

　　nＳ2＝２^n-1−１

　　nＳ3＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２

　　nＳ4＝４^n-1／６−３^n-1／２＋２^n-2−１／６

一般項は

　　nＳk＝１／ｋ！Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

となります．

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