ゼータ関数は，オイラーの積表示

　　ζ（ｓ）＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

を通して素数分布＝＃｛ｎ｜素数ｐ≦ｘ｝の問題に関係してきます．

　オイラーはオイラー積表示の関係式を用いて，素数が無限個あること，しかも自然数の中で相当な割合で現れるという事実を証明をしたのですが，これはギリシャ数学の単なる別証ではなく，その後の数学の発展に繋がるものだったのです．

　そして，有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．

　　π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ　　　Ｃ＝１／φ（ｎ）

　算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数

　　φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）

として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　１７６０年頃，オイラーは，数ｎが素因数ｐ，ｑ，ｒ，・・・をもつときに，それらの重複度にかかわらず，

　　φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ）（１−１／ｑ）（１−１／ｒ）・・・

であることを示しました．この原理は「エラトステネスのふるい」によっているのですが，たとえば，１０＝２・５，４４＝２^2・１１，１００＝２^2・５^2より，

　　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

　　φ（４４）＝４４（１−１／２）（１−１／１１）＝２０

　　φ（１００）＝１００（１−１／２）（１−１／５）＝４０

また，任意の素数ｐに対して，

　　φ（ｐ^n）＝ｐ^n（１−１／ｐ）

したがって，

　　φ（ｐ）＝ｐ（１−１／ｐ）＝ｐ−１

となります．

　なお，算術級数定理の証明にはディリクレのＬ関数

　　Ｌ（ｓ，χ）＝Π（１−χ（ｐ）ｐ^(-s)）^(-1)

　　　　χは乗法群（Ｚ／ｎＺ）の１次元表現

が用いられます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ところで，連続する合成数を与える１次式として，いま長さ１００のものが欲しいとすると１０１！を考えます．ｎを２から１０１までのどれかだとすると，１０１！＋ｎはｎで割り切れることになります．したがって，

　　１０１！＋２，１０１！＋３，・・・，１０１！＋１０１

は２，３，・・・，１０１を因数にもつので素数を含まない連続した１００個の数列になります．すなわち，

　　ｆ（ｘ）＝１０１！＋ｘ

は合成数生成式となります．

　それとは逆に，前回のコラムでは１次式：ａｘ＋ｐや２次式：ｘ^2＋ｘ＋ｑが連続した素数値をとる場合についてみてまいりましたが，とくに２次式の場合，２次体の類数との関係が注目されました．

　また，１次式ａｘ＋ｂは，ａとｂが互いに素であるとき，無限に多くの素数を含むことが知られています（ディリクレの算術級数定理）．しかし，２次以上では，たとえばｘ^2＋１のような簡単な２次式ですらその中に素数が無限にあるかどうかわかってはいません．今回のコラムでは

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にしたがって，１次の世界と２次の世界の違いをみていくことにします．

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【１】１次の世界

　１次式ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａとｂは互いに素）を素因数分解してみることにしましょう．ａ＝４，ｂ＝１の場合について調べてみますが

　　ｆ（１）＝５，ｆ（２）＝３^2，ｆ（３）＝１３，ｆ（４）＝１７，

　　ｆ（５）＝３・７，ｆ（６）＝５^2，ｆ（７）＝２９，

　　ｆ（８）＝３・１１，ｆ（９）＝３７，ｆ（１０）＝４１，

　　ｆ（１１）＝３^2・５，ｆ（１２）＝７^2，ｆ（１３）＝５３，

　　ｆ（１４）＝３・１９，ｆ（１５）＝６１

　ここに現れている最大の素因数は６１ですが，

　　２，２３，３１，４３，４７，５９

は素因数として現れていません．しかし，ｘを大きくしていくと２以外の素数はやがて現れることになります．いつまでたっても２が現れないのは４ｘ＋１が奇数だからです．

　ｆ（ｘ）＝６ｘ＋１では２や３は現れません．一般的にいうと，１次式ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａとｂは互いに素）を素因数分解すると，素因数としてａの約数以外の素数はすべて現れます．

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【２】２次の世界

　２次式ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋１について同様に素因数分解してみます．

　　ｆ（１）＝２，ｆ（２）＝５，ｆ（３）＝２・５，ｆ（４）＝１７，

　　ｆ（５）＝２・１３，ｆ（６）＝３７，ｆ（７）＝２・５^2，

　　ｆ（８）＝５・１３，ｆ（９）＝２・４１，ｆ（１０）＝１０１，

　　ｆ（１１）＝２・６１，ｆ（１２）＝５・２９，

　　ｆ（１３）＝２・５・１７，ｆ（１４）＝１９７，

　　ｆ（１５）＝２・１１３

　１００以下の素数で現れていないのは，３，７，１１，１９，２３，３１，４３，４７，５３，６７，７１，７３，７９，８３，８９，９７ですが，５３，７３，８９，９７はやがて現れます．しかし，

　　３，７，１１，１９，２３，３１，４３，４７，６７，７１，７９，８３はｘを大きくしていっても永久に現れてきません．

　たとえば，ｘ＝３ｎ，３ｎ＋１，３ｎ＋２と分けて考えれば，ｘ^2＋１が３で割り切れないことを簡単に示すことができます．

　　ｘ^2＋１＝（３ｎ＋ｋ）^2＋１＝３（３ｎ^2＋２ｋｎ）＋ｋ^2＋１

　　ｋ＝０，１，２→ｋ^2＋１＝１，２，５は３で割り切れない

他の素数７，１１，・・・，８３についても同様に証明することができます．しかし，これをすべての素数について確かめるのは大変です．

　素数ｐが素因数となり得るかどうかを見分ける強力な判定法として，

　　「ｆ（１），ｆ（２），・・・，ｆ（ｐ）の素因数として現れなければ，ｆ（ｘ）の素因数になり得ない」

というものがあります．３はｆ（１），ｆ（２），ｆ（３）に素因数として現れないし，７はｆ（１），ｆ（２），・・・，ｆ（７）に現れないことから素因数とはなり得ないのです．

　この原理は平方剰余の相互法則のよっていて，すなわち，

　　ｘ^2＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

であって，ｘ^2＋１の場合，素因数になる素数は（２を除いて）４ｎ＋１型素数のみであり，４ｎ＋３型素数は素因数とはなり得ない（第１補充法則）ことも理解されます．一般に，素数ｐがｘ^2＋ｃ^2を割り切るには２ｃの素因数を例外として，ｐ＝１　（ｍｏｄ４）であることが必要かつ十分で，その場合，ｐは２つの平方の和ｐ＝ａ^2＋ｂ^2として表されます．

　ともあれ，２次式の世界では素因数として現れない素数はたくさんあります．１次式の世界では（自明な素数を除いて）すべて素数が現れるわけですから，両者はまったく事情の異なる世界であることがわかりました．

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【３】平方剰余の相互法則

　　（ａ／ｐ）＝＋１　←→　ａがｐを法とする平方剰余

　　　　　　　　　　　（ｘ^2＝ａ　ｍｏｄｐなる整数ｘが存在するとき）

　　（ａ／ｐ）＝−１　←→　平方非剰余（そうでないとき）

と定義します．

　たとえば，整数ａに対して，

　　ｘ^2＝ａ　　ｍｏｄｐ

となる整数ｘが存在するかどうかを考えると

　　Ｚ／ｐＺ＝Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝

について代入してみればいいわけで，ｐ＝５の場合，

　　０^2＝０，１^2＝１，２^2＝４，３^2＝９＝４，４^2＝１６＝１

ですから，ａ＝１，４（ｍｏｄ５）のときは平方剰余，ａ＝２，３（ｍｏｄ５）のときは平方非剰余，すなわち，

　　（１／５）＝（４／５）＝１，（２／５）＝（３／５）＝−１

となります．

　　（ａ／ｐ）＝ａ^{(p-1)/2} (mod p)　　　　　（オイラー規準）

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

　　（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．

　クロネッカーの指標やディリクレの指標はルジャンドル記号の計算に還元されるのですが，オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．

　それに対して，

　　（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）＝（−１）^{(p-1)/2}{(q-1)/2}

が有名なガウスの平方剰余の相互法則です．

　前述のように（ｐ／５）は簡単に計算されますが，その際，（５／ｐ）すなわちｘ^2＝５（ｍｏｄｐ）なる整数ｘがあるかどうかについてもわかるというのが平方剰余の相互法則なのです．（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．

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【４】２次式と楕円曲線

　楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ｘと２次式ｘ^2＋１の素因数の関係をみてみましょう．

　　ａp＝Σ（（ｘ^3＋ｘ）／ｐ）

　　　　（・）はルジャンドル記号，ｘ＝０〜ｐ−１

と定義してａpを計算すると

　　ａ3＝０，ａ5＝２，ａ7＝０，ａ11＝０，ａ13＝−６，ａ17＝２，ａ19＝０，

　　ａ23＝０，ａ29＝１０，ａ31＝０，ａ37＝２，ａ41＝１０，ａ43＝０，

　　ａ47＝０，ａ53＝−１４，ａ59＝０，ａ61＝１０，ａ67＝０，ａ71＝０，

　　ａ73＝−６，ａ79＝０，ａ83＝０，ａ89＝１０，ａ97＝１８

　ａp＝０となる奇の素数

　　ｐ＝３，７，１１，１９，２３，３１，４３，４７，６７，７１，７９，８３

はｘ^2＋１の素因数にはならない，逆に，ａp≠０となる

　　ｐ＝５，１３，１７，２９，３７，４１，５３，６１，７３，８９，９７

はいずれ素因数として現れてきます．

　また，もうひとつの特徴としてｘ^2＋１自身が奇の素数となる

　　ｐ＝５，１７，３７

では，すべてａp＝２となっていることも見てとれます．このような素数が楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ｘと関係するのは本当に不思議に感じられます．

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【５】２次体の整数

　有理数体Ｑに，ｘ^2−ｄ＝０の根√ｄを添加して得られる体Ｑ（√ｄ）を考えます．すると０，１以外の平方因数をもたない整数ｄ，すなわち，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・

によって，Ｑ（√ｄ）は体になり，２次体Ｑ（√ｄ）の元は一意的に

　　Ｑ（√ｄ）＝｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは有理数｝

の形で表されます．

　ｄ＞０のとき実２次体，ｄ＜０のとき虚２次体と呼ばれますが，とくにｄ＝−１のとき

　　Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）

はガウスの数体となります．ガウスの数体Ｑ（ｉ）の場合でいうと，ａ，ｂを整数として

　　ａ＋ｂｉ

で表される複素数が「ガウスの整数」です．

　２次体の整数の定義は，ｄの値によって異なり

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　　ａ＋ｂ√ｄ　　　（ａ，ｂは半整数）

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　　ａ＋ｂ（１＋√ｄ）／２

で定義されます．

　　Ｑ（√−３）における整数がアイゼンスタインの整数です．アイゼンスタインの整数はωを１の虚立方根

　　ω＝（−１＋√−３）／２

とし

　　ａ＋ｂω

と書くことができます．ガウス整数にはｘ^2＋１＝０が対応しているわけですが，それに対して，アイゼンスタインの整数にはｘ^2＋ｘ＋１＝０の根です．

　２次体Ｑ（√ｄ）において，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　ω＝√ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　→　ω＝（１＋√ｄ）／２

とすると，代数的整数の集合

　　Ｚ（ω）＝｛ａ＋ｂω｜ａ，ｂ，は整数｝

は，加法および乗法に関して閉じて環になります．このＺ（ω）を２次体Ｑ（√ｄ）の整数環と呼びます．たとえば，ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じています→「ガウスの整数環」．

　　Ｑ（√−１）　→　Ｚ（ｉ）

　　Ｑ（√−３）　→　Ｚ（ω）

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【６】２次体の素数

　Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）の世界では

　　２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2

　　５＝（１＋２ｉ）（１−２ｉ）

　　２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）

のように分解されるので，これらはもはや「素数」ではなくなります．

　２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されます．４ｋ＋１型の素数は

　　ｐ＝ａ^2＋ｂ^2＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）

と分解されるので素数ではなくなるというわけです．

　また，１＋２ｉや１−２ｉはガウス素数です．たとえば，１＋２ｉが

　　１＋２ｉ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）

と素数の積に分解できたとすると，両辺に共役複素数

　　１−２ｉ＝（ａ−ｂｉ）（ｃ−ｄｉ）

をかけると

　　５＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）

となり，

　　（ａ^2＋ｂ^2，ｃ^2＋ｄ^2）＝（１，５），（５，１）

が成り立たなければなりませんが，このうち一方は単数になってしまいます．

　このとき，

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

のような素因数分解ができるので，素因数分解が一意ではないという疑問を生じますが，実は

　　２＋ｉ＝ｉ（１−２ｉ），２−ｉ＝ｉ（１＋２ｉ）

のように単数だけの違いになってしまいます．このような理由から１＋２ｉや１−２ｉはガウス素数といえるのです．

　素数は複素数体でも定義されますが，数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，

　　±１，±ｉ

の４個の単数があります．

　それに対して，４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数です．たとえば３が

　　３＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）

と素数の積に分解できたとすると，両辺に共役複素数

　　３＝（ａ−ｂｉ）（ｃ−ｄｉ）

をかけると

　　９＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）

となり，

　　（ａ^2＋ｂ^2，ｃ^2＋ｄ^2）＝（３，３），（１，９），（９，１）

が成り立たなければなりません．しかし，（３，３）を満たす整数は存在しませんし，（１，９），（９，１）では一方が単数となってしまいますから，３は素数といえるわけです．

　アイゼンスタインの整数の場合にもやはり素因数分解の一意性が成立します．２および６ｋ＋５型素数はアイゼンスタイン素数ですが，３および６ｋ＋１型素数はアイゼンスタイン素数の積に分解されます．

　　３＝（１−ω）（１−ω^2）＝（１＋ω）（１−ω）^2＝（１−ω）（２＋ω）

　　３７＝（４−３ω）（４−３ω^2）＝（４−３ω）（７＋３ω）

アイゼンスタインの整数には，６つの単数

　　±１，±ω，±ω^2

があり，正六角形の対称性をもちます．

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【７】２次体の類数

　Ｑ（√−１）やＱ（√−３）では，（単数を除いて）素因数分解は一意ですが，どんな２次体でも素因数分解の一意性が成立するわけではありません．

　たとえば，Ｑ（√−５）では

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

のように，素数の積に２通りに表されるような状況を生じてしまうのです．

（２，３は素数であるし，１＋√−５，１−√−５はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」である．）

　　２＝（ａ＋ｂ√−５）（ｃ＋ｄ√−５）

　　１＋√−５＝（ａ＋ｂ√−５）（ｃ＋ｄ√−５）

いずれの場合も両辺に共役複素数をかけると

　　４＝（ａ^2＋５ｂ^2）（ｃ^2＋５ｄ^2）

　　（ａ^2＋５ｂ^2，ｃ^2＋５ｄ^2）＝（２，２），（１，４），（４，１）

　それでは，どういう負の数−ｄを使った数体系Ｑ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのでしょうか？　この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるというものです（ベイカー・スタークの定理）．最初の２つ以外では半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があることはおわかりでしょう（＝１（ｍｏｄ４））．

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