ｎ次元正単体，正軸体，超立方体のｋ次元胞の数を表す公式は古くから知られており，Coxeter, Regular Polytopesにも表がついています．

［１］ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフとみなすことができ，ｋ次元胞の数はｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）です．

［２］ｎ次元正軸体については，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝｛（１＋２ｘ）^n−１｝／ｘ

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１）です．

［３］ｎ次元超立方体はこの双対で，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝（２＋ｘ）^n

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）です．

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［１］組み合わせの母関数

　　Ｇ（ｘ）＝（１＋ｘ）^n＝ΣnＣkｘ^k　　（ｋ＝０〜）

　　Ｇ’（ｘ）＝ｎ（１＋ｘ）^n-1＝ΣｋnＣkｘ^k-1　　（ｋ＝１〜）

　　　　　　　＝ｎ（１＋ｘ）^n-1＝Σ（ｋ＋１）nＣk+1ｘ^k　　（ｋ＝０〜）

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［２］重複組み合わせの母関数

　　Ｇ（ｘ）＝１／（１−ｘ）^n＝（Σｘ^k）^n＝ΣnＨkｘ^k　　（ｋ＝０〜）

　　Ｇ’（ｘ）＝ｎ／（１−ｘ）^n-1＝ΣｋnＨkｘ^k-1　　（ｋ＝１〜）

　　　　　　　＝ｎ／（１−ｘ）^n-1＝Σ（ｋ＋１）nＨk+1ｘ^k　　（ｋ＝０〜）

　ｎ種類のものからｒ個を重複を許して選ぶ組み合わせ数は

　　nＨr＝n+r-1Ｃr

となることはｎ＋ｒ個のものを１れつに並べて，その間にｎ−１本の線を引くことで，ｎ組のグループに分ける方法の数として説明できます．

　　nＣr＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）・・・（ｎ−ｒ＋１）／ｒ！＝ｎ！／（ｎ−ｒ）！ｒ！

　　nＨr＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）・・・（ｎ＋ｒ−１）／ｒ！＝（ｎ＋ｒ−１）！／（ｎ−１）！ｒ！＝n+r-1Ｃr

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［３］モンモールの問題

　カタラン数は原点（０，０）から（ｎ，ｎ）までのルートのうち，ｙ≦ｘの範囲のみを通る数，凸ｎ角形の三角形分割数などさまざまな例で出現します．それに対して，モンモール数は規準となる並び順に対して，どの要素も本来のポジションにないような順列のことで，完全順列（撹乱順列）と呼ばれます．

　たとえば，ｎ個の宛名を書いた封筒にｎ個の手紙を無作為に入れるとき，すべての手紙がその宛名と違う封筒に入る確率は，

　　１−１／１！＋１／２！−・・・＋（−１）^n１／ｎ！

ｎ→∞のとき，

　　（１−１／ｎ）^n　→　１／ｅ＝０．３６７８・・・

に近づきます．

　ｎ個の要素に対する完全順列の数をモンモール数と呼びます．一般項は

　　ｆ（ｎ）＝ｎ！Σ（−１）^k／ｋ！

また，漸化式

　　ｆ（ｎ）＝（ｎ−１）（ｆ（ｎ−１）＋ｆ（ｎ−２））

が成り立ちます．

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