【１】１０を原始根とする素数

　ａは−１でも平方数でもないものとします．ａが素数ｐに対する原始根とは，ａ^1−１，ａ^2−１，・・・，ａ^p-2−１のどれもｐで割り切れなくて，ａ^p-1−１がｐで割り切れるものを指します．

　たとえば，ａ＝１０はｐ＝３の原始根ではなくて，ｐ＝７の原始根です．あるいは同じことですが，

　　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２８５７の長さ６）

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．

　１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

　１０を原始根とする１００以下の素数は

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７

の９個，１００以下の素数は２５個ですから，

　　９／２５＝０．３６

で理論値０．３７４によくあっています．

　もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．

　しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．

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【２】レプユニット型素数

　１が連続する数を１の反復数（レプユニット）という．１０進法表記で１がｎ個並ぶｎ桁のレプユニットは

　　Ｒn＝（１０^n−１）／９

の形に書くことができる．１以外の数，たとえば７がｎ個並ぶ数は７で割れるから素数ではない．１の場合だけが明らかではないのだ．

１＝１

１１＝１１（素数）

１１１＝３・３７

１１１１＝１１・１０１

１１１１１＝４１・２７１

１１１１１１＝３・７・１１・１３・３７

１１１１１１１＝２３９・４６４９

１１１１１１１１＝１１・７３・１０１・１３７

１１１１１１１１１＝３・３・３７・３３３６６７

１１１１１１１１１１＝１１・４１・２７１・９０９１

１１１１１１１１１１１＝２１６４９・５１３２３９

ｎ＝２：１１（素数）

ｎ＝３：３・３７

ｎ＝６：３・７・１１・１３・３７

ｎ＝９：３・３・３７・３３３６６７

ｎ＝１８：３・３・７・１１・１３・１９・３７・５２５７９・３３３６６７

　それでは，

（Ｑ）３桁以上のレプユニットはすべて素数ではないのだろうか？

（Ａ）No.

　Ｒnが素数ならば，ｎは素数でなければならないのであるが，ｎが素数の場合，たとえば，ｎ＝２（１１）は素数である．ｎ＝１３は５３・７９・２６５３７４６５３であるが，ｎ＝１７は２０７１７２３と５３６３２２２３５７の２つの素因数しかもっていないがこれを探すだけでも大変なことである．ｎ＝２９の場合は，３１９１・１６７６３・４３０３７・６２００３・７７８４３８３９３９７となる．

　ｎ＝２，１９，２３，３１７，１０３１の場合，Ｒnは素数であることが知られている．素数と思われるが証明されていないレプユニット型素数はｎ＝４９０８１と８６４５３であるが，いまのところ，これ以外のレプユニット型素数は知られておらず，レプユニット型素数が無限個あるのかどうかは未解決である．

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