リーマン予想（１８５９年）とは「リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の複素零点の実部はすべて１／２である」という仮説である．

　リーマン予想の証明に挑戦した有名な数学者を挙げると，重要な人々に限ってみてもアダマール，マンゴルト，プーサン，ランダウ，ハーディ，リトルウッド，ジーゲル，ポリヤ，イェンセン，リンデレーエフ，ボーア，セルバーグ，アルティン，ヘッケ，フルヴィッツなどそうそうたる面々となる．にもかかわらず１４０年以上経たいまも証明されないままになっている．

　そのため，リーマン予想は数学における未解決問題のうち最も難しいものと考える人も多い．以来この問題はカルト的な人気を集めてきた．映画「ビューティフルマインド」のモデルとなったノーベル賞受賞数学者のJohn Nashもこの問題の解明を試みていたが，この問題は難攻不落であってやがて彼の頭脳までをもぶっとばしてしまうことになる．

　2001年にはClay Mathematics Institute（マサチューセッツ州ケンブリッジ）が，この問題を証明した者に100万ドルの賞金を出すと発表した．リーマン予想の証明ではヒルベルト・ポリヤ以来のゼータ関数の零点が固有値となるような行列の固有値解釈からのアプローチがあげられるが，現在リーマン予想の解決にもっとも肉薄しているのはコンヌ（フランス），デニンガー（ドイツ），ハラン（イスラエル）の３人だという説がささやかれている．ところが，それでも途なお遠く，黒川信重先生はリーマン予想の証明の将来性について，いまだ３合目くらいではないかと考えておられるようである．

　このシリーズではこれまでリーマン予想に対する量子物理的アプローチなどについて紹介してきたが，今回のコラムでは素数に関するいくつかの定理を紹介したいと思う．

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【１】オイラーの素数生成式

　オイラーの有名な素数生成式

　　ｎ^2＋ｎ＋４１

は，ｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．

　４１，４３，４７，５３，６１，７１，８３，９７，１１３，１３１，

　１５１，１７３，１９７，２２３，２５１，２８１，３１３，３４７，

　３８３，４２１，４６１，５０３，５４７，５９３，６４１，６９１，

　７４３，７９７，８５３，９１１，９７１，１０３３，１０９７，１１６３，

　１２３１，１３０１，１３７３，１４４７，１５２３，１６０１

オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，この式でこれほどたくさんの素数を作れるということは大変奇妙に感じられます．１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

　また，オイラーは，２次多項式

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｑ

において，ｑが素数

　　２，３，５，１１，１７，４１

のとき，０からｑ−２を代入すると

　　ｆq（０），ｆq（１），・・・，ｆq（ｑ−２）

がすべて素数になることを観察しています．（ｆq（ｑ−１）＝ｑ^2は素数ではありません．）

　しかし，素数

　　７，１３，１９，２３，２９，３１，３７

に対して，このことは成立しません．

　　ｆ7（１）＝９，ｆ13（１）＝１５，ｆ19（１）＝２１，ｆ23（１）＝２５，

　　ｆ29（２）＝３４，ｆ31（１）＝３３，ｆ37（１）＝３９

　これらの事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何なのでしょうか．

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【２】ラビノヴィッチの定理

　２次方程式

　　ｘ^2＋ｘ＋４１＝０

の解は

　　ｘ＝１／２（−１±√−１６３）

であり，虚２次体Ｑ（√−１６３）の理論と深く関係しているのですが，この不思議な性質も類数１に関するラビノヴィッチの定理から説明されます．

　一般に，ｆq（ｘ）が０≦ｘ≦ｑ−２なるすべてのｘについて素数となることと虚２次体Ｑ（√ｄ）との関係が，ラビノヴィッチにより示されています（１９１２年）．

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　　ｑ＝−ｄ　　　　　　　　

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｑ

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　　ｑ＝（１−ｄ）／４

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｑ

とおきます．

　［２］がオイラーの公式に対応しているわけですが，連続する０≦ｘ≦ｑ−２に対してすべて素数になるには

　　「ｑが素数で，虚２次体Ｑ（√１−４ｑ）が類数１をもつときに限る．」

というのが，ラビノヴィッチの定理です．

　類数１については後述しますが，類数が１となる虚２次体Ｑ（√ｄ）は

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

しかありません．［２］でｄ＝−１６３＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝４１．したがって，

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

となります．このようにして，上の現象は虚２次体Ｑ（√−１６３）と関係していることがわかります．

　同様に，１変数の２次多項式

　　ｎ^2＋ｎ＋１７

も高い確率で素数を生成しますが，ｄ＝−６７＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝１７ですから，虚２次体Ｑ（√−６７）と関係しているというわけです．

　　ｎ^2＋ｎ＋４１（０≦ｎ≦３９なるすべてのｎについて素数となる）

　　　←→　Ｑ（√−１６３）

でしたが，以下同様に

　　ｎ^2＋ｎ＋１７（０≦ｎ≦１５）　←→　Ｑ（√−６７）

　　ｎ^2＋ｎ＋１１（０≦ｎ≦９）　　←→　Ｑ（√−４３）

　　ｎ^2＋ｎ＋５（０≦ｎ≦３）　　　←→　Ｑ（√−１９）

　　ｎ^2＋ｎ＋３（０≦ｎ≦１）　　　←→　Ｑ（√−１１）

　　ｎ^2＋ｎ＋２（０≦ｎ≦０）　　　←→　Ｑ（√−７）

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【３】ベイカー・スタークの定理

　ガウスの数体Ｑ（ｉ）の場合でいうと，ａ，ｂを整数として

　　ａ＋ｂｉ

で表される複素数が「ガウスの整数」です．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じています→「ガウスの整数環」．

　また，すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，

　　±１，±ｉ

の４個の単数がある．ガウスの数体では（単数を除いて）素因数分解の一意性が成立します．

　それに対して，Ｑ（√−５）では

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

のように，素数の積に２通りに表されるような状況を生じてしまうのです．（２，３は素数であるし，１＋√−５，１−√−５はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」である．）

　それでは，どういう負の数−ｄを使った数体系Ｑ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのでしょうか？

　この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるというものです．このコラムをご覧の読者であれば，最初の２つ以外では半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があることはおわかりでしょう（＝１（ｍｏｄ４））．

　ずいぶん以前からこの９個の数は知られていたのですが，１０番目の数が存在するかもしれない・・・というまどろっこしい状態が続いていました．水金地火木土天海冥のさらに遠方に１０番目の惑星が存在するかもしれないという問題はつい最近「超冥王星」が発見されて解決しましたが，この１０番目の数が実際に存在するかどうかを解明するために長い歳月が費やされました．

　その経緯について触れておきたいのですが，１９３２年，ハイルブロンとリンフットが１０番目のｄがあるとすれば，それは１０^11よりも大きくなることを示しました．また，１９５２年，ヘーグナーが９個ですべてだという証明を発表しましたが，彼は高校の教師であり研究者として部外者であったため，この証明は懐疑的に受け取られていたようです．

　そして，１９６６年，アメリカのスタークとイギリスのベイカーが独立に世界中を納得させる証明を与えました．それは不正確であるとして無視されたヘーグナーの証明の誤りを払拭するものでもありました．また，１９６８年，ドイリングはヘーグナーの証明を修正することに成功しましたが，既にそのときはベイカー，スタークに先を越されていて遅きに失した状況にありました．

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【４】９個の数の不思議な性質（類数１の世界）

　オイラーの２次多項式において，最初のｑ−１個がすべて素数となるような素数ｑ（＞４１）は存在するのでしょうか．もし存在するならば，そのようなｑは無限にあるのでしょうか．あるいは，有限個ならば最大のｑはいくつになるのでしょうか．

　１９６６年，ベイカーとスタークは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したのですが，それによると，

　　−ｄ＝１，２，５，７，１１，１９，４３，６７，１６３

したがって，虚２次体Ｑ（√１−４ｑ）が類数１をもつのは，

　　４ｑ−１＝７，１１，１９，４３，６７，１６３

すなわち，

　　「ｑが素数で，２，３，５，１１，１７，４１に限る．」

というものです．

　もし，そのような素数が無限に多く存在すれば，任意の長さの素数列を生成することができるのですが，ベイカー・スタークの定理はこれが成立しないことを示していて，

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

が最も長く連続した整数点において素数値をとる多項式であるというわけです．

　なお，１９５２年，ヘーグナーは１世紀以上も未解決だったガウスによる予想を証明しているのですが，その証明を標準的な手法で書かなかったため，長らく間違ったものとみなされていました．ところが，１９６６年，ベーカーとスタークがこの問題を解いたのを契機に，ヘーグナーの証明がはじめて注意深く吟味され，その証明が本質的には正しいことが明らかになりました．これでヘーグナーに対する批評が公正でないことが明らかになったのですが，残念ながら，ヘーグナーは１９６５年に亡くなっており，自らの名誉回復をその目で見ることはできませんでした．現在，９個の数

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

はヘーグナー数と呼ばれています．

　この９個の数

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

はとても面白いもうひとつの性質をもっています．それは

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√６７）＝147197952743.99999866･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

　これは決して偶然の一致ではありません．ｘに対しては

　　ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・

がぴったり整数になることがわかっています．これらの係数は重さ０のモジュラー関数においてｑ→−１／ｘとしたものです．

　ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

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【５】類数２の世界

　ついでながら，類数２の虚２次体Ｑ（√ｄ）は，

　　−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

の１８個あります．

　１変数の２次多項式ではｎ^2＋ｎ＋４１が高い確率で素数を生成し，それは類数が１となる虚２次体Ｑ（√−１６３）と関係していたわけですが，２ｎ^2＋２９なども高い確率で素数を生成します．

　　２ｘ^2＋２９

は，ｘ＝０，１，・・・，２８において，連続する素数値をとる最適生成多項式の１つであって，類数２をもつ体Ｑ（√−５８）に対応しています．

　一般に，Ｑ（√ｄ）＝Ｑ（√−２ｐ）が類数２をもつためには，

　　２ｘ^2＋ｐ

が０≦ｘ≦ｐ−１において素数値をとることが必要十分であって，そのようなｄ＝−２ｐは

　　ｄ＝−６，−１０，−２２，−５８

で与えられます．類数２の虚２次体と関係した最適素数生成多項式は，このほかに２つのタイプがあることが知られています．

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【６】マチアセビッチの素数生成式

　１次式：ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｐに対して考えてみると，この等差数列の集合は無限に多くの素数を含む（ディリクレの算術級数定理）のですが，

　　ｆ（０）＝ｐ，ｆ（ｐ）＝（ａ＋１）ｐ

ですから，０，１，・・・，ｐ−１のとき，素数値をとるのが最良です．

　ｐ個の素数を連続してもつ等差数列としては，たとえば，

　　ｆ（ｘ）＝ｘ＋２は連続した２個の素数値２，３をとる．

　　ｆ（ｘ）＝２ｘ＋３は連続した３個の素数値３，５，７をとる．

　　ｆ（ｘ）＝６ｘ＋５は連続した５個の素数値５，１１，１７，２３，２９をとる．

　　ｆ（ｘ）＝１５０ｘ＋７は連続した７個の素数値７，１５７，３０７，４５７，６０７，７５７，９０７をとる．

　　ｆ（ｘ）＝１５３６１６００８０ｘ＋１１は連続した１１個の素数値をとる．

　　ｆ（ｘ）＝９９１８８２１１９４５９０ｘ＋１３は連続した１３個の素数値をとる．

　　ｆ（ｘ）＝３４１９７６２０４７８９９９２３３２５６０ｘ＋１７は連続した１７個の素数値をとる．

・・・しかし，すべての素数ｐに対して，このような等差数列が存在するかどうかは知られていません．

　それでは，多変数の高次多項式ではどうでしょうか．１９７１年，旧ソ連のマチアセビッチは，正の値がすべて素数の集合となる多項式が存在するという驚くべき事実を，ヒルベルトの第１０問題の副産物として発見しています．

　その式は３７次で２４個の変数をもつ多項式と２１次で２１個の変数をもつ多項式でした．この多項式は負の値もとり，また，素数は多項式の値として繰り返し出現します．（現在のこのような式の最低次数は５，最底変数は１０になっています．）

　すべての素数が作れて，この公式から素数が漏れることはありません．ただし，ほとんどが負の値となってしまうのでマチアセビッチの素数生成式は事実上役に立ちませんでした．この式からは素数について新しいことはほとんどわからなかったのです．なお，整数係数をもつ多項式が，常に素数値をとることは不可能であることは証明されています．一方，すべての素数をもれなくつくり，しかも素数以外はつくらない公式は知られていません．素数を完全に定義する式が存在することは証明されていませんし，存在しないともわかっていません．

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［補］ヒルベルトの第１０問題

　マチアセビッチにより，すべてのディオファントス方程式（不定方程式）の解の存否を判定するアルゴリズムが存在しないことが証明されています．一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，たとえば，ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３＝０が（１，１，１），（４，４，−５）とその並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません．

［補］素数を含まない連続する数列

　いま長さ１００のものが欲しいとすると１０１！を考えます．ｎを２から１０１までのどれかだとすると，１０１！＋ｎはｎで割り切れることになります．したがって，

　　１０１！＋２，１０１！＋３，・・・，１０１！＋１０１

はｋ＝２，３，・・・，１０１を因数にもつので素数を含まない連続した１００個の数列になるのです．

　一般的に書くと，ｎ個の連続した自然数

　　（ｎ＋１）！＋２，（ｎ＋１）！＋３，・・・，（ｎ＋１）！＋（ｎ＋１）

はｋ＝２，３，・・・，ｎ＋１を因数にもつので連続するｎ個の自然数はすべて素数でないことがわかります．

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